Математика для инженеров

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

164. Определить точки пересечения эллипса

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

695.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

¬12. Свойства линий второго порядка

157. Эллипс касается оси абсцисс в точке А(3; 0) и оси ординат в точке В(0; –4). Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

158. Установить, что уравнение 5x2 + 9y2 – 30x + 18y + 9 = 0 определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет и уравнения директрис.

159. Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F(–1; 0), чем к прямой x = –4.

160. Установить, какую линию определяет уравнение

	3		. Изобразить эту линию на чертеже.
x 5		y 2 4 y 12

4		Составить уравнение параболы, если дан фокус F(–7; 0) и
161.
уравнение директрисы x – 7 = 0.
162.		Установить какую линию определяет уравнение

y3 4 x 1. Изобразить эту линию на чертеже.

163.Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(7; 2) и директриса x – 5 = 0.

параболы y2 = 24x.

165. Точка С(–3; 2) является центром эллипса, касающегося обеих координатных осей. Составить уравнение этого эллипса, зная, что его оси симметрии параллельны координатным осям.

166. Установить, какую линию определяет уравнение

y 1 4 6x x 2 . Изобразить эту линию на чертеже. 3

167.Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается втрое ближе к точке А(1; 0), чем к прямой x = 9.

168.Установить, что уравнение 9x2 – 16y2 + 90x + 32y – 367 = 0 определяет гиперболу, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис.

169.Написать уравнение параболы и ее директрисы, если

парабола проходит через точки пересечения прямой x + y = 0 и окружности x2 + y2 + 4y = 0 и симметрична относительно оси Oy. Построить окружность, прямую и параболу.

170. Составить уравнение параболы, если даны ее фокус F(4; 3) и

директриса y + 1 = 0.												x2	y 2
171. Определить точки пересечения гиперболы
														1 и
												20	5
параболы y2 = 3x.

					¬13. Ранг матрицы
Найти ранг матриц:
		0	4	10	1			1		0	0	1	4
										1	0	2	5
		4	8	18				0
172.					7	.	173.		0	0	1	3	6		.

			18	40	17
	10							1		2	3	14	32
		1	7	17	3
									4	5	6	32	77

	1	1	2	3	4
	2	1	1	2	0

174.	1	2	1	1	3	.
	1	5	8	5	12

	3	7	8	9
					13
175. Найти размерность		и базис подпространства пространства

строк, натянутого на данную систему векторов: f1 = (2; 0; 1; 3; –1), f2 = (1; 1; 0; –1; 1), f3 = (0; –2; 1; 5; –3), f4 = (1; –3; 2; 9; –5).

Найти ранг матриц:

	2		1	11	2			1 2		3	1		1 2
									1	1		0	2
		1	0	4			2							2
176.					1	. 177.		2	5	8		4	3
			4	56										1 .
	11				5		6		0	1		2	7	5
		2	1	5	6
								1	1	1		1	2
														1

2		1	1	1
		3	1
1				1
	1	1	4	1
178.		1	1	.
1				5
	1	2	3
				4
	1	1	1
				1

Найти размерность и базис подпространства пространства строк,
натянутого на данную систему векторов:
179. f1 = (2; 1; 3; 1),	f2 = (1; 2; 0; 1), f3 = (–1; 1; –3; 0);
180. f1 = (2; 1; 3; –1),		f2 = (–1; 1; –3; 1),					f3 = (4; 5; 3; –1),
f4 = (1; 5; –3; 1).
¬14. Действия с матрицами
Выполнить действия:	181. 1		2 1	1 3		2	1	2 .
1 2	1		1 3	1	2		4 1
182. 4	3			2				.
						1
2 1	1		2 1 2			1	3 2

		3 1 1	1		1 1					2 1 1				3 1							2
184.		2 1 2		2	1		185.			2 1 1							186. 1 2		3			.
184.		2 1 2		2	1	1 .	185.							2 1 .			186. 1 2		3		4	.

				1 0						3 0 1
		1 2 3		1 0		1								1 0							1
	Обратить матрицы:
							1		2	3					1		3	5	7
			1 2				1		2	3							1
			1 2			188.		0	1	2	.		189.		0		1	2 3		.
		187.			.	188.		0	1	2	.		189.							.
																0	0	1
			2 5					0	0							0	0	1	2
								0	0	1						0	0	0
	Выполнить действия:															0	0	0	1
	Выполнить действия:
		190. 3 1				1 0	3 2 1 2					3		1 1			1	6 11 .

				3	5		2 1					1 2 3 1 2 4
				3	5		2 1		192.				2		4			2
Умножить матрицы: 191.							.		192.				2		4	6 1		2	4 .

				6 1		3 2
															6			2
												3			6	9 1		2	4
1 2 1 2 3		1 1 2 1					3 2 1				1						2
					194.		3 2 1							.	195.				3).
193. 0 1	2 1 1	0 0	1 2 .		194.						2			.	195.		1 (1 2		3).

							0 1 2
3 1 1 1 2 1 3 1 1											3						3
196.	Вычислить ААТ,				3		2	1	2
196.	Вычислить ААТ,		где А =						, если АТ – матрица,
						4	1	1
транспонированная к А.						4	1	1	3
транспонированная к А.										1					1		1	1
				2	2		3			1					1		1	1
				2	2		3								1	1
				1	1					1					1	1		1
Обратить матрицы: 197.				1	1		0 .	198.										.
				1	2					1					1		1	1
				1	2		1								1	1
										1					1	1		1

¬15. Решение уравнений матричным способом

Решить матричные уравнения:	2		5		4		6
Решить матричные уравнения:	199.			X			.
		1	3			2
		1	3			2	1

1		1	1	1		1	3
		1				3	2
200. X 2			0	4				.
	1	1			1	2	5
			1

		2 1			3 1		2	8
		X			Y
201.		1 1			2 1		0	5
201.								.
	3 1		2		1		4	9
		X			Y
		X			Y

	1	1	1 1				1	4
	1	1	1 1				1	4
				x y 2z 3t 1,
						y z 2t 4,
Решить системы уравнений:			202.	3x		y z 2t 4,
Решить системы уравнений:			202.
				2x 3y z				t 6,
								t 4.
				x 2 y 3z				t 4.

		y 3z 4t 5,				2x y 3z 2t 4,
		x	2z 3t 4,				3x 3y 3z 2t 6,
203.					204.

	3x 2 y			5t 12,		3x		y z 2t 6,
		4x 3y 5z		5.			3x	y 3z t 6.

Решить матричные уравнения:

													1 1		3 1	3
													X		Y

2		1		3		2	2		4								1
2		1		3		2	2		4	206.		1 1			1 1		1
205.	3	2	X		5			3	.	206.
	3	2			5	3		3	1		1 1			1 1		1
													X		Y

													1	1 3		5
											1		1	1 3		5

Решить системы уравнений:

	x 2 y 3z 2t 6,
		2x y 2z 3t	8,
207.
		3x 2 y z 2t	4,

	t 6.
2x 3y 2z

	x 2 y 3z 4t 5,

208.	2x y 2z 3t 1,
208.
	3x 2 y z 2t 1,

	t 5.
4x 3y 2z

. 3

¬16. Базис в пространстве

В пространстве строк над числовым полем дана система векторов f1, f2, …, fm. Выделить максимальную линейно независимую подсистему и выразить остальные векторы в виде линейных комбинаций векторов

выделенной подсистемы:

1 (2; 2;7; 1),

209.f 2 (3; 1;2; 4),

f3 (1; 1;3; 1).

f1 (2; 3; 4; 1),f

211.f2 (1; 2; 1; 3),f3 (5; 3; 1; 8),

f4 (3; 8; 9; 5).

210.f 2f3

212.f 2f3

f 4

(3; 2;	5; 4),
(3; 1;	3; 3),

(3; 5; 13; 11).

(2; 3;5; 4; 1),

(1; 1;2; 3; 5),

(3; 7;8; 11; 3),

(1; 1;1; 2; 3).

213. Можно ли принять	{f1, f2, f3, f4},	где	f1 = (1; 1; 0; 1),
f2 = (2; 1; 3; 1), f3 = (1; 1; 0; 0),	f4 = (0; 1; –1; –1), за		базис? Каковы
координаты вектора X = (0; 0; 0; 1) в этом базисе?

Найти собственные значения и собственные векторы матриц, рассматриваемых как операторы умножения слева в пространстве

столбцов над полем С:
		2	1	2			1	1	1	1
2	1	2	1	2				1	1
2	1	5	3	3	.	216.	1	1	1	1	.
214.	. 215.	5	3	3	.	216.					.
								1	1
1	2	1	0	2			1	1	1	1
		1	0	2				1	1
							1	1	1	1

выделенной подсистемы:
	f1 (2;1 1; 1),					f1 (2;1; 3),		f1 (2;1),
	f1 (2;1 1; 1),						(3;1; 5),		(3;2),
217.		(1;2;	1; 1),	218.		f 2	(3;1; 5),	f 2	(3;2),
217.	f 2	(1;2;	1; 1),	218.			219.		(1;1),
		(1;1;	2; 1).			f3	(4;2; 1),	f3	(1;1),
	f3	(1;1;	2; 1).				(1;0; 7).		(2;3).
						f 4	(1;0; 7).	f 4	(2;3).
					f1	(2; 1; 3; 4; 1),
						(1; 2; 3; 1; 2),
			220.		f 2	(1; 2; 3; 1; 2),
			220.
					f3	(5; 5;12;11; 5),
						(1; 3; 6; 3; 3).
					f 4	(1; 3; 6; 3; 3).
221.	Можно		ли	принять			{f1, f2, f3, f4}, где	f1 = (1; 1; 1; 1),

f2 = (1; 1; –1; –1), f3 = (1; –1; 1; –1), f4 = (1; –1; –1; 1), за базис? Каковы координаты вектора X = (1; 2; 1; 1) в этом базисе?

столбцов над полем С:
3		4			5	6	3
3		4		223.	1	0
222.			.	223.	1	0	1 .
	5	2
	5	2			1	2
					1	2	1

Глава 2. Дифференцирование функций

¬17. Понятие функции

224. Дано: y = sinx; v = lgy; u = 1 v 2 . Выразить u как функцию х. 225.Следующие сложные функции представить с помощью

цепочек, составленных из основных элементарных функций:

1) y = sin3(2x + 1); 2) y = earctg1 ln(2x 3) ; 3) y = sin ln arcctg 2x.

226.Построить области изменения переменной х, удовлетворяющей неравенствам: 1) x 4 ; 2) x 2 9; 3) x 4 1.

227.Найти корни х1 и х2 функции у = 4х х2 и построить ее график на отрезке [x1 1; x2 +1].

228. Дано: f (x) = 2x3 5x2 23x. Найти все корни уравнения

f(x) = f ( 2).

229.Найти области определения данных функций:

;

y arccos 1 2x ;

1) y

;

x 2 4x 3

3 x

4) y

;

230.

Тождественны ли функции:

1) f (x)

и (x)

; 2) f (x) lg x2 и (x) 2 lg x ?

231.

Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны,

какие не являются ни четными, ни нечетными?

1) у = х4 2х2;

2) y = cos x; 3) y x

; 4) y = sin x cos x;

a x

120

1 x

5) y = tg x; 6)

; 8) y x

; 7) y

; 9) y ln

1 x

232.

ax 1

Найти функцию, обратную данной:

1) y

= x

2x;

2) y

10x

10 x

y 1 2 sin

x 1

10x

10 x

x 1

233.

Дано:

y = 1 + x;

z = cos y;

1 z 2

Выразить

v как

функцию х.

234.

Следующие сложные функции представить с помощью

цепочек, составленных из основных элементарных функций:

1) y 5(3x 1)2	;	2) y ln cos arctg	e x e x	; 3) y = arcos ln tg 4x.

		2

235.Построить области изменения переменной х, удовлетворяющей неравенствам: 1) 1 x 3 2; 2) x2 9; 3) x 2 2 4.

236.Построить графики функций:

1) y

;

2) y

x 2

;

3) y

x .

237. Указать два корня уравнения

x 8

f (x)

, если известно,

x 1

что функция f (x) определена в интервале ( 5; 5). Найти все корни

данного уравнения для случая, когда f (x) = x2 – 12x + 3.

238. Найти области определения данных функций:

;

2) y

;

x2 3x 2

x2 4x

1 2x

5x x

y arccos

;

4) y

239.

Тождественны ли функции:

2) f (x) = x и (x)

1) f (x)

и (x) x ;

240.

Какие из указанных ниже функций четны, какие нечетны,

какие не являются ни четными, ни нечетными?

1) у

5) y 2

= х х ;

2) y = 2 ; 3) y = sin x; 4) y = 1 x ;

6) y

a x a x

;

7) y

a x 1

;

8) y 2x x4

;

241.

a x 1

Найти функцию, обратную данной:

1) y 3

;

x2 1

2) y

; 3) y 4arcsin

1 x2

1 2x

¬18. Понятие предела

242. Полагая n = 0, 1, 2, 3, ...,				написать			последовательность
	1		1			1	n
значений переменных:		,		,			.
	2n		2n			2
Начиная с какого n
	модуль каждой из переменной сделается и
будет оставаться меньше 0,001, меньше данного					0 ?

243.

Доказать,

что

последовательность

4n2

при

3n2

неограниченном возрастании

стремится

пределу,

равному

монотонно

возрастая.

Начиная

какого

величина

не

превосходит данного положительного числа ?

244.

При неограниченном

возрастании

функция

x2 1

стремится к нулю: lim

0. Каково должно быть N,

чтобы из

x x2 1

N следовало у < ?

1 2x2

245.

Доказать, что

lim

0,5 .

При

каких

значения

x 2 4x2

функции будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,01?

246.

Написать

последовательность

значений

переменной

x 1

( 1)n

. Начиная с какого n,

модуль разности х 1 сделается и

2n 1

будет оставаться меньше 0,01, меньше данного положительного ?

247. Доказать, что un

n 1

стремится к 1 при неограниченном

n 1

возрастании n. Начиная с какого n

абсолютная величина разности

между un и 1 не превосходит 10 4 ?

248.Дано у = х2. Когда x → 2, то y → 4. Каково должно быть , чтобы из x 2 , следовало y 4 0,001?

249.Доказать, что lim 4x 3 2 . При каких х значения функции

x 2x 1

будут отличаться от своего предела меньше чем на 0,001 ?

¬19. Нахождение пределов

Найти пределы:

250. lim

(n 1)

. 251.

lim

n3 100n2 1

252. lim

(n 1)

2n2

100n2 15n

(n 1)4

n (n 1)

3				n3 2n 1																		( n2 1 n)2																											4					n5				2								3 n2 1
253. lim											. 254. lim																														.			255. lim																																		.
253. lim				n 2							. 254. lim																														.			255. lim																																		.
n																			n									3					n	6	1												n 5							n		4		2 n															3		1
																																	n		1																			n				2 n																	1
																																																																			2x2 1
				2n2 1																	3x 1																								6x
256. lim				2n2 1				. 257. lim													3x 1							.					258. lim											x	6x				. 259.. lim
256. lim				2n 1				. 257. lim																				.					258. lim																. 259.. lim
n				2n 1											x x2 1																						x 3x 1																							x 3x2 4x
						5x2 3x 2																																	3																		5
																																											4 x																														4
																																											4 x								x5									x2 5x													4
260. lim																		.														261. lim																																													.
								2 4x 1

				x 2x																																x								3				x 5					x3					4				5 x3
									3																				3									2											3																	5
			1 x 3x						3																	x			3							x		2											3							x	4		3							5			x			3			4
			1 x 3x																							x										x																				x			3										x						4
262. lim					2					3 .																	2																. 264. lim																																		.
262. lim					2	3x				3 .			263. lim										2x				2																. 264. lim																		x					1											.
x	1 x					3x																	2x							1 2x 1																			x										3		x		7			1
x																		x																															x										3				7
		(x 1)10						(x 2)10												... (x 100)10																																									3
265. lim		(x 1)10						(x 2)10												... (x 100)10																				.				266. lim									x2					1			3							x2							1		.
265. lim																																								.				266. lim																																	.
x													x		10					10																											x 4						x			4		1						5				x			4				1
													x			10																																					x					1										x							1
									1			1				1			...							1																		1 2 3 ... n																							n
									1							4			...							n																		1 2 3 ... n																							n
			267. lim									2				4										2							.		268. lim																																			.
			267. lim									1 1														1							.		268. lim														n 2																					.
							n					1 1														1													n										n 2																		2
										1									...
										1		3				9			...							3n							270. lim 3																																.
				269. lim																					.																									3
																																												(x 1)2											(x 1)2
														x a										x																				(x 1)2											(x 1)2
								x																													x
271. lim				n 1			.	272.					lim				(n 1)3										(n 1)3												.		273. lim											1000n3										3n2														.
271. lim				n			.	272.					lim														(n 1)2												.		273. lim																																			.
n				n									n (n 1)2														(n 1)2																			n 0,001n4 100n3																												1
							(2n 1)4 (n 1)4																																3																									3n 1
							(2n 1)4 (n 1)4																																3			n2 n																						3n 1
274. lim																										.					275. lim																	.	276.									lim																			.
274. lim																										.					275. lim												n 1					.	276.									lim																			.
				n (2n 1)4 (n 1)4																																n							n 1															n							3n2 1

277. lim .

n 1 2n

279. lim 5x3 7x .

x 1 2x3

278. lim				n3 2n2 1 3 n4 1																.
278. lim																				.
n 4		n	6	6n	5	2				5		n	7	3n	3			1
		n		6n		2						n		3n				1

	3 4 2										1 3
280. lim	3 4 2						x x3				1 3						x2 x				.
280. lim																					.
x		5	1 x x					3	3		4 x x					2			2
			1 x x								4 x x								2

281. lim	x3	1	. 282. lim	x2	1	.

					1
x x2 1			x 2x2

283. lim

x x2 1

x . 284.


lim	x2			1	x	.
lim						.
x 4		x	3	x x
		x		x x

<<< < Предыдущая 1 23 / 113 4 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.201541.24 Кб9маркетинг Натаха.docx
#
10.05.20151.8 Mб163МАРКЕТИНГ- Учебное пособие .pdf
#
10.05.2015219.13 Кб16Маршрутизация.pdf
#
16.03.2016493.17 Кб24МАТЕМ. обработка.pdf
#
10.05.2015357.84 Кб26МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009.pdf
#
10.05.2015695.77 Кб50Математика для инженеров.pdf
#
10.05.2015298.16 Кб15математика контр раб №2.pdf
#
10.05.20151.05 Mб21Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf
#
10.05.20152.69 Mб5Математика Сам раб 140400 140100.pdf
#
10.05.2015403.1 Кб4математика.pdf
#
16.03.2016429.54 Кб6Математика.pdf