Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

695.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения (или необходимый признак):

												1																					1 n																	n 1																				1
892.												1													.	893.							1 n				.				894.									n 1								.				895.								1		.
892.				(2n 1)2															2n 1						.	893.							2				.				894.																	.				895.								2		.
		n 1		(2n 1)2																											n 1 1 n														n 1 (n 2)n																				n 1 n					1
						1 n								2			2																																		3
														2			2																1																		3			n																1
																																	1																					n																1
896.														3										897.									4			. 898.																							.			899.								.
896.						1 n								3			.							897.								n	4			. 898.																							.			899.								.
		n 1				1 n																					n 1					n			1									n 1 (n 1) n																					n 1			10n 1

900.	arcsin																1				.				901.						1			n2 n 1													n2		n 1 .


		n 1																n										n 1 n
																																1																																			1
902.	sin													.			903.															1							.		904. tg																.		905.								1				.
902.	sin										2		n	.			903.																						.		904. tg																.		905.												.
		n 1									2															n 1 (n 1)(n 4)																					n 1						4n										n 1			3n 1
												1																							1																				1
906.												1										.				907.									1						. 908.														1									.
				n				2
								2																											2
											4n 5																		n				n		2	2n												n				(n 1) n 1
		n 1																											n		1		n			2n												n	1
									n			2																							1																					n 1
909.									n								. 910.																		1								.	911.												n 1						.
								2				1
								2
		n 1		2n																						n 1				n(n 1)(n 2)																						n 1				2n 1
																										¬58. Признаки сходимости
		Исследовать сходимость знакоположительных рядов:
																																														3				4										n 1 n2
	1				2							2														n					n									2
												2																			n
																																														2																n
912.																...																....				913.																	...														....
912.	3															...																....				913.									9								...									3n					....
	3				5																					2n 1														3					9																	3n
914.		1					1			...															1			....					915.					2				2 5				...								2 5 ... (3n 1)															....
914.										...										(2n 1)!								....					915.									1 5				...																							....
	3!					5!														(2n 1)!																1						1 5											1 5 ... (4n 3)
916.		1			1 3								...										1 3 ... (2n 1)													....					917.						1				2				...							n	....
916.													...																							....					917.														...							2	....
		3 3 6																								3n n!																					e e4														en
918.			1														1								...										1									....
918.		2 ln 2 2													3ln 2 3										...				(n 1) ln 2 (n 1)															....

2	3 2	4 3	n 1		n		1	2 3	3 5		n 2n 1
919.			...			....	920.			...		....

1	3	5		2n 1			2	5	8		3n 1

921.	1			2	...				n			.... 922.		1		1	3	...				1 3		...	(2n 1)					....
921.					...							.... 922.				4		...												....
	2!		3!				(n 1)!					4				4	8						4 8 ...			4n
	1		1 11					1 11 ...				(10n 9)							1			8					n3
923.						...									...	.	924.								...				....
923.	1!		3!			...									...		924.				e		e	4	...		en	2	....
	1!		3!								(2n 1)!										e		e	4			en
925.			1				1					1
										...										...		.
										...										...
		2 ln 3 2 3 ln3 3											(n 1) ln3 (n 1)

¬59. Абсолютная и условная сходимости

		Исследовать сходимость рядов с произвольными членами:
926.	1			1				1			...					( 1)n 1							....				927.				1		8					27		...				( 1)n						n3		...		.
926.	1										...						2n 1						....				927.													...				( 1)n
			3 5														2n 1													2 4 8																				2n
			3 4															n 1 n 1												3						5 2				7			3								2n 1 n
928. 2										...				( 1)											....			929.																	...										....
928. 2										...				( 1)											....			929.																	...										....
			2 3																			n								4						7				10											3n 1
	1				2				3											( 1)n 1 n															1						1									( 1)n 1
930.															...											...				. 931. 1															...										....
930.	4				12														3n2 n 2							...				. 931. 1											125				...				(2n 1)3						....
	4				12				26										3n2 n 2																27						125								(2n 1)3
932.		3					3 5						3 5 7								...	( 1)n 1							3 5 7			...		(2n 1)								...				.
932.	2																					( 1)n 1							2 5 8													...
	2						2 5						2 5 8																2 5 8			...		(3n 1)
933.	4				14																5n 1 n									934. 1									2 3									( 1)n n
			1									...														...																			...										....
	5		1									...									4n					...																			...
	5				13																4n		1																7 13										6n 5
			3 1														( 1)n 1						(n 1)												1 1												( 1)n 1
935.	1													...													...			. 936. 1												...										....
935.	1																2n2 n 1										...			. 936. 1												...							n2			....
			7 4														2n2 n 1																		4 9														n2
937.		1					1 4							1 4 7						...				( 1)n 1						1 4 7 ...						(3n 2)									....
937.	7																			...				( 1)n 1						7 9 11						(2n 5)									....
	7						7 9						7 9 11																	7 9 11				...		(2n 5)
938.		3				5			7			...			( 1)n 1									2n 1						....	939.						1			1				1		...				( 1)n			....
	2				6 12																			n(n 1)											2 8 24															n 2n

¬60. Промежуток сходимости степенного ряда

Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:

940.		x			x2		...					x n			....							941. 10x 100x 2															... 10n x n ....
940.		x		22			...								....							941. 10x 100x 2															... 10n x n ....
				22							n2
																	n 1				n 1												x				2 3						2													n 2n 1					n
942. 1 3x ... (n 1)3																			x				....				943.												x					...																x		....
942. 1 3x ... (n 1)3																			x				....				943.												x					...									2n							x		....
																																3					5																2n				1
		x x2											n x							n																					n 1 (x 5)n
944.								...												.... 945.												( 1)																							.
944.								...										2		.... 945.												( 1)													n			3		n					.
	2 6											n 1						2															n 1												n			3
										n													3																																								n
					(x 2)					n													3				n 2																																(x 3)				n
946.					(x 2)						. 947. ( 1)n																n 2				(x 2)n .										948.							( 1)n											(x 3)					.
										n
										n																																																(2n 1) n 1
		n 1	(2n 1) 2																	n 0						n 1																						n 0										(2n 1) n 1
949.		x			x	2		...					xn			.... 950.									xtg			x		x2 tg								x		... x n tg															x		....
949.		x						...								.... 950.									xtg					x2 tg										... x n tg														2n			....
				2										n													2									4																		2n
951.		x			x 2		...							x n						.... 952.									x						x2	...										x n						....
951.		x		20			...				n 10n 1									.... 952.														4		...								n 2n								....
				20							n 10n 1																2							4										n 2n
						xn 1																	(x 3)n																			(x 3)n
953.												. 954.																.				955.																			.
953.							n					. 954.											n 5				n	.				955.												n		2					.
		n 2 n 3							ln n												n 1		n 5														n 1							n
								n 1 (2n 1)2n (x 1)n																										(3n 2)(x 3)n
956.	( 1)																							.			957.																													.
956.	( 1)												(3n 2)									2n		.			957.											(n 1)							2		2		n 1							.
		n 1											(3n 2)																				n 0					(n 1)									2

¬61. Разложение функций в степенные ряды

958. Разложить функцию y = ln x в ряд Тейлора в окрестности точки x = 1 (при x0 = 1).

959. Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции y = ln (1 + ex) в окрестности точки x = 0 (ряд Маклорена).

Пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена функций ex, sin x, ln (1 + x), (1 + x)α, разложить данные функции:

	x
960. y x2ex.		e		1	при x 0,
						962. y x ln(1 x) .	963. y 3 8 x3 .
			x
	961. y
			1		при x 0.

964. Разложить

функцию y

в ряд

Тейлора в

окрестности

точки x = 1.

965. Найти первые пять членов ряда Тейлора для функции

y = –ln cos x

в окрестности точки x = 0 (ряд Маклорена).

Пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена функций ex,

sin x, ln (1 + x), (1 + x)α, разложить данные функции:

e x3

sin x

при

x 0,

при

x 0,

2x3

966. y

967. y

при

x 0.

при

x 0.

968.y = ln (10 + x). 969. y .

1 x 2


	¬62. Применения степенных рядов
970.	Пользуясь формулой разложения в ряд			Маклорена функции
(1 + x)α, вычислить 3			с точностью до 0,001.
		70
	0,2			x
971. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл				e	dx .
				3
962.	0,1			x
	Найти с помощью степенных рядов решение дифференциального

уравнения y′ = y2 + x3 при заданном начальном условии y = 0,5 при


x = 0.
973. Пользуясь формулой разложения в ряд				Маклорена функции
(1 + x)α, вычислить 3		с точностью до 0,001.
	30
0,5
974. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл			arctg x		dx .

0				x

975. Найти с помощью степенных рядов решение дифференциального уравнения y′ = x2 – y2 при заданном начальном условии y = 0 при x = 0.

¬63. Ряды Фурье по стандартному промежутку

976.Разложить в ряд Фурье функцию, равную –1, в интервале (–π; 0) и 1 в интервале (0; π).

977.Разложить в ряд Фурье функцию y = x3 в интервале (–π; π).

978.Разложить в ряд Фурье функцию y = cos ax в интервале (–π; π)

(a – не целое число).

979.Разложить в ряд Фурье функцию, равную 1, в интервале (–π; 0) и 3 в интервале (0; π).

980.Разложить в ряд Фурье функцию y = x2 1) в интервале (–π; π),

2)в интервале (0; 2π).

981. Разложить в ряд Фурье функцию y = sin ax в интервале (–π; π) (a – не целое число).

¬64. Ряды Фурье по не стандартному промежутку

982.

Разложить в ряд Фурье функцию y = 10 – x

в интервале (5; 15).

983.

Разложить

функцию

y = x(π – x) по

синусам кратных

дуг в

интервале

(0; π).

984.

Разложить

по

косинусам

кратных дуг

в интервале

(1,5; 3)

функцию

при 1,5 x 2,

при

2 x 3.

985.

3 x

Разложить в ряд Фурье функцию, график которой дан на рис. 10:

–π

4 x

Рис.10

986.

Разложить в ряд Фурье функцию y = 2x

в интервале (0; 1).

Разложить в указанных интервалах в неполные ряды Фурье:

а) по синусам; б) по косинусам кратных дуг функции:

0 x

при

при 0 x 1,

987.

988. y

при 1 x 2.

2 x

при

x .

989. Разложить в ряды Фурье функции, графики которых приведены ниже на рисунках 11 и 12:

		α y
		α y
α–π	–α
–π		O α π–α π	x
		–α
		–α
		Рис. 11

–π α–π –α O α π–α π

Рис. 12

Глава 7. Кратные интегралы

¬65. Криволинейные интегралы по длине дуги

990. Вычислить криволинейный интеграл	ds	, где L – отрезок

L	x y

прямой y = 0,5x – 2, заключенный между точками A(0; –2) и B(4; 0).

991. Вычислить криволинейный интеграл 2 yds , где L – первая арка

x a(t sin t), циклоиды

y a(1 cost).

992. Найти массу участка линии y = ln x между точками с абсциссами x1 и x2, если плотность линии в каждой точке равна квадрату абсциссы точки.

993. Найти массу четверти линии x = etcos t, y = etsin t, z = et от точки, соответствующей t = 0, до произвольной точки, если плотность дуги

обратно пропорциональна квадрату полярного		радиуса				и	в	точке
(1; 0; 1) равна единице.			ds
994. Вычислить криволинейный интеграл						,	где	L –

	x	2	y	2	4
L

отрезок прямой, соединяющей точки O(0; 0) и A(1; 2).


995.	Вычислить криволинейный интеграл				x 2 y 2 ds , где L – дуга
развертки		окружности		L			y = a(sin t – t cos t)
			x = a(cos t + t sin t),
[0 x 2π].						x
996.	Найти массу участка цепной линии			y ach			между точками с

абсциссами x1= 0 и x2= a, если плотность линии в каждой ее точке обратно пропорциональна ординате точки, причем плотность в точке (0; a) равна δ.

997. Найти массу первого витка винтовой линии x = a cos t, y = a sin t, z = bt, плотность которой в каждой точке равна квадрату полярного радиуса этой точки.

¬66. Криволинейные интегралы по координатам

Вычислить криволинейные интегралы:

998. xdy ,	где L –		контур			треугольника, образованного осями
L		x		y
координат и	прямой				1,	в положительном направлении (т.е.
		2
			3

против движения часовой стрелки).

999. (x 2 y 2 )dy , где	L – контур	четырехугольника с вершинами
L		точках A(0; 0), B(2; 0), C(4; 4), и
(указанными в порядке	обхода) в	точках A(0; 0), B(2; 0), C(4; 4), и
D(0; 4).

(1;1)

1000. xydx ( y x)dy вдоль линии 1) y = x, 2) y = x2, 3) y2 = x, 4) y = x3.

(0;0)

1001. ydx xdy , где L – четверть окружности x = R cos t, y = R sin t, от

	L
t1 = 0	до t2		=		.
t1 = 0	до t2		=		.
				2
1002.		y 2 dx x 2 dy					, где L – полуокружность	x = a cos t,	y = a sin t от
1002.		x	2	y		2	, где L – полуокружность	x = a cos t,	y = a sin t от
	L	x		y
t1 = 0	до t2 = π.

1003.	(x 2		y 2 )dx , где L – дуга параболы y = x2			от точки пересечения
	L
ее с осью абсцисс до точки пересечения ее с осью ординат.
	( ;2 )
1004.	x cos ydx y sin xdy по отрезку от точки (0; 0) до (π; 2π).
	(0;0)
	(1;1)
1005.	2xydx x 2 dy вдоль линии 1) y = x, 2) y = x2, 3) y = x3,						4) y2 = x.
	(0;0)
1006.	ydx xdy , где L – эллипс x = a cos t, y = b sin t, пробегаемый в
	L
положительном направлении.
1007.		x 2 dy y 2 dx			, где L – четверть астроиды	x = R cos3t,	y = R sin3t
1007.			5	5	, где L – четверть астроиды	x = R cos3t,	y = R sin3t

Lx 3 y 3

от точки (R; 0) до точки (0; R).

¬67. Двойные интегралы

1008. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

1 y

dy f (x; y)dx .

1009. Переменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла:

	1			x2	3	3 x
						2
	dx f (x; y)dy dx f (x; y)dy .
	0		0		1	0
1010. Вычислить		x	2	dxdy , где	D – область, ограниченная прямыми

		y	2
D

x = 2, y = x и гиперболой xy = 1.

R	R2 x2
1011. Вычислить dx	ln(1 x 2 y 2 )dy с помощью перехода к
0	0

полярным координатам.

1012. Вычислить		R 2 x 2	y 2 dxdy , где D – круг x2	+ y2 Rx.
	D
1013. Вычислить	площадь,		ограниченную прямыми	x = y, x = 2y,

x + y = a, x + 3y = a (a > 0).

1014. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле:

13 y2

dy f (x; y)dx .

0y2

1015. Переменив порядок интегрирования, записать данное выражение в виде одного двукратного интеграла:

R2 x2

dx f (x; y)dy

f (x; y)dy .

1016. Вычислить

(x 2 y)dxdy ,

где

D – область, ограниченная

параболами y = x2

и y2 = x.

1017. Вычислить

(h 2x 3y)dxdy , где D – круг x2 + y2 R 2.

1018. Вычислить

dxdy , где D – четверть круга

x2 + y2 1,

1 x 2 y 2

лежащая в первом квадранте.

1019. Вычислить площадь, лежащую под осью Ox и ограниченную этой осью, параболой y2 = 4ax и прямой x + y = 3a.

¬68. Применение двойных интегралов

Найти двойным интегрированием объемы тел, ограниченных

данными поверхностями:
1020.	Плоскостями координат, плоскостями			x = 4 и y = 4	и
параболоидом вращения z = x2 + y2 + 1.
1021.	Координатными плоскостями, плоскостью			2x + 3y – 12 = 0	и
		y 2
цилиндром z			.
цилиндром z			.

1022.

Цилиндром

z = 4 – x2,

координатными

плоскостями

плоскостью 2x + y = 4

(x 0).

x 2 y 2

1023.

Цилиндром

x2 + y2 = 2ax,

параболоидом

плоскостью z = 0

(a > 0).

1024.

Параболоидом вращения z = x2 + y2 и плоскостями z = 0, y = 1,

y = 2x и y = 6 – x.

1025. Цилиндрами

, y 2

и плоскостями z = 0 и x + z = 0.

1026.

Цилиндром

z = 9 – y2,

координатными

плоскостями

плоскостью 3x + 4y = 12 (y 0).

параболоидом Rz = 2R2 + x2 + y2

1027.

Цилиндром

x2 + y2 = R2,

плоскостью z = 0.

¬69. Тройные интегралы

1028. Перейти к цилиндрическим координатам в тройном интеграле

f (x; y; z)dxdydz и расставить пределы интегрирования, где V –

область, ограниченная цилиндром x2 + y2 = 2x, плоскостью z = 0 и параболоидом z = x2 + y2.

Вследующих примерах вычислить интегралы с помощью перехода

кцилиндрическим или к сферическим координатам.

	1			1 x2				a				1		1 x2	1 x2 y2
1029.	dx						dy dz ;			1030. dx				dy		x2 y 2 z 2	dz ;
	0							0				0		0	0
	0	1 x2						0				0		0	0
1031.							dxdydz						, где V – цилиндр x2 + y2 1, –1 z 1.


			x		2	y		2	(z 2)		2
	V		x			y			(z 2)

1032. Перейти к цилиндрическим координатам в тройном интеграле

f (x; y; z)dxdydz и расставить пределы интегрирования, где V –

область, находящаяся в первом октанте и	ограниченная цилиндром
x2 + y2 = R 2 и плоскостями z = 0, z = 1, y = x,	y x		.
		3

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 117 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.201541.24 Кб9маркетинг Натаха.docx
#
10.05.20151.8 Mб163МАРКЕТИНГ- Учебное пособие .pdf
#
10.05.2015219.13 Кб16Маршрутизация.pdf
#
16.03.2016493.17 Кб24МАТЕМ. обработка.pdf
#
10.05.2015357.84 Кб26МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009.pdf
#
10.05.2015695.77 Кб50Математика для инженеров.pdf
#
10.05.2015298.16 Кб15математика контр раб №2.pdf
#
10.05.20151.05 Mб21Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf
#
10.05.20152.69 Mб5Математика Сам раб 140400 140100.pdf
#
10.05.2015403.1 Кб4математика.pdf
#
16.03.2016429.54 Кб6Математика.pdf