Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Математика для инженеров

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.05.2015

Размер:

695.77 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

	3x	2			(2x 1)(3x				2							5				x	7	3			4	2x			3	1
285. lim	3x				(2x 1)(3x				x 2)				. 286.			lim				x		3				2x				1	.
	2x 1							4x	2
									2
x																x			6 x8 x7 1 x
287. lim			1 2 3 ... n							.		288. lim		1 2 3				4					... 2n				.
287. lim										.		288. lim															.
	n					n	2						n					n		2	1
						n												n			1
289. lim											.		3															.
				x2 1				x2	1			290. lim x					x3		1					x3	1
				x2 1				x2	1			290. lim x			2		x3		1					x3	1
	x												x

–––––––––––––––––––––––––––––

Найти пределы:

291. lim x2 5 .

x 2 x2 3

x 2

294. lim .

x 2 x2 3x 2

292.

lim

4x 1

. 293.

lim

x2 9

2x 1

x 2

x 3 x2 2x 3

x3 x 2

295.

lim

296. lim

x 1

x 5

x 1 x3

x 5

x2 1 1

1 x2 4

1 2x

297. lim

298. lim

299. lim

x x2

x 0

x2 16 4

x 0

1 3x 1

x 0

tg 2x

1 cos3 x

1 sin 2x

300. lim

. 301. lim

302. lim

. 303. lim

x 1

x 0 sin 5x

x 0

xsin 2x

1 cos 4x

305. lim

tg x sin x

306. lim(1 z)tg

304. lim

1 xsin x

cos 2x

2 x

x 0

z 1

307. lim

lim

1 cos(1 cos x)

1 tg x

308.

sin 2x

x 0

x2 3

3 x

1 mx

309. lim

310. lim

311. lim

x4 x2 1

x 1 1 x

1 x2

x 0

1 x2

7 x3

3 x2

1 x

312. lim

. 313. lim

314.

lim

x 1

x 0

x 1

315. lim

316. lim

317. lim

1 sin x 1 sin x

x 1

0 3 (1 cos )2

x 0

tg x

sin x cos x

318. lim

1 arctg 3x

1 arcsin3x

319. lim

x 0

1 arcsin 2x

1 arctg 2x

cos 2x

sin x

x3 1

sin(1

320. lim

. 321. lim

322. lim

cos x

x 1 sin(x 1)

x 1

323. lim x

1 cos

¬20. Число е. Исследование функции на непрерывность

Найти пределы:

	1 x					1			326. lim(sin 2x)tg 2 2 x .
324. lim(1 4x)		x	.	325. lim(cos x)			sin x	.	326. lim(sin 2x)tg 2 2 x .
x 0						x 0				x
										x	4
											4
Исследовать на непрерывность функции:
327. y	3				.							4	.
	3			8 x		328.			y	15 x		4
						328.			y
		1 x2								x2 1

Найти пределы:

2x 1 2x

329. lim . x 2x 1

3x 2 2x

330. lim . x 3x 1

sin x

sin x x sin x

331. lim . x 0 x

Исследовать на непрерывность функции:

332. y	3 11	x	.	333. y	3 x 2	.
	4 x
		2			x2 1

¬21. Производная функции

Продифференцировать указанные функции:

t 2 5t 1

334. f (t)

Найти: f ( 1);

f ( 1);

f (2);

t 3

3t 2 1

x2 x 1

335. y

1 .

336. s

337.

t 1

338. y

339. y

arccos x

340. y

1 ln x

sin x cos x

1 ln x

341. y x3 3x .

242.

y (x2 2x 3)e x .

343. y ln cos arctg

e x

344. y x2

1 sin x .

345.

347. y e x2

x sin x

ln x .

1 e x

346. y

sin6 3x

sin8 3x .

348. y e arctg

1 ln(2 x 3)

349.

f (x) 3x 2

x .

Найти: f

(4); f

); f

) .

(1); f (1); f

(4); f (a

xsin x

350. y

351. u

352. y

v 1

1 tg x

353. y

x2 1

(x2

1)(1 x) .

354. y

arctg x .

355. y

x 1

3(x2 1)

log2 x

1 10x

x x

(x 1)3 4

x 2

356. y e

cosx .

357. y

358. y

359.

1 10x

1 x

5 (x 3)2

2x 3

2x 1

360. y e

361. y 0,4 cos

362. y ln tg

ctg x ln(1 sin x) x .

363. y

sin 0,8x .

x2 arctg x 1 ln x 1 2 .

¬22. Производные неявной, параметрической функций

Найти производные от функций y, заданных неявно:

364. y2cos x = a2sin 3x. 365. y = 1 + xe y.

				2	sin x		xexarctg x

		x
366. y	x sin x 1 e		.	367. y = (x + 1)	. 368.	y			.
366. y	x sin x 1 e		.	367. y = (x + 1)	. 368.	y	ln5	x	.
							ln5	x

369. На параболе y = x2 взяты две точки с абсциссами x1 = 1, x2 = 3. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?

370. Провести нормаль к линии y = x¾ln x параллельно прямой 2x –2y +3 = 0.

Найти производные от функции y по x:

x	a cos 3			,		x (1 sin ),
371.		b sin	3		372.	y cos .
y		b sin		.

Найти производные от функций y, заданных неявно:

373. sin (xy) + cos (xy) = tg (x + y). 374. ysin x – cos (x – y) = 0.

(x 1)3 4

sinx

(1 x2e3x 1 cosx

375.

x 2

. 376.

377. y

(arccosx)3

5 (x 3)2

1 x

378.

Составить

уравнения

касательной

и нормали к линии

8a3

в точке с абсциссой x = 2a.

4a2 x2

379.

Провести касательную к гиперболе y

x 9

так, чтобы она

x 5

прошла через начало координат.

Найти производные от функции y по x:

x a( sin ),

y a(1 cos ).

x et sin t,

y et cos t.

¬23. Дифференциал функции. Производные высших порядков

382. Найти дифференциал функции: 1) 2 cos x ;

(2,037)2		3
383. Вычислить приближенно			.
	2
(2,037)		5

		x
2) ln tg			.
	2	4

384.	Выразить дифференциал сложной функции через
независимую переменную и ее дифференциал:
		y ln tg		u	, u arcsinv, v cos2s.
		y ln tg			, u arcsinv, v cos2s.
			2
		6	f (2) ?			386. f (x) = e			2x 1
385. f (x) = (x + 10) ;						386. f (x) = e			;	f (0) ?
387.	Найти вторую производную от функции у = (1 + х2)arctg x.
388. y 4 x2		; d 2 y ?	389.			ρ2 cos3 a2 sin3				0 ; d 2 ?
390.	Найти дифференциал функции:
		1) 5ln tg x ;				2)		(arctg x)2 .
		1) 5ln tg x ;				2)	arcsin x	(arctg x)2 .

391.f (x) e0,1x(1 x) . Подсчитать приближенно f (1,05).

392.Выразить дифференциал сложной функции через независимую переменную и ее дифференциал:

s ez ,

ln t,

t = 2u 2 3u 1.

393. f (x) = x

4 ; f

(1)

394. f

(x) = arctg x ; f

(1) ?

395. Найти вторую производную от функции y

arcsin x .

1 x2

396. y

d 2 y ?

ln 2

x 4 ;

397.

;

¬24. Правило Лопиталя

Пользуясь правилом Лопиталя найти пределы:

398. lim	ln cos x	.	399. lim	cos x ln(x a)	.	400. lim	ln sin 2x	.


x 0	x		x a	ln(e x ea )		x 0 ln sin x

401. lim		a
	x sin		.

x		x

402. lim

403. lim

)tg

x 1 x 1

ln x

	1

404. lim x e x		1 .
x

		1

407. lim(ex x) x .

x 0

410. lim x ln x .

405. lim(tg x)2x .

408. lim x sin x .

x 0 x3

411. lim(sin x)tg x .

x 0 x 0

1 2 sin x

413. lim

414. lim

cos 3x

x 0 x sin x

416. lim

x sin x

417. lim

ln x

418.

x 0

x tg x

x 0 ln sin x

406. lim x ln( ex 1) . x 0

409. lim tg x .

x tg 3x

412. lim a x bx . x 0 tg x

415. lim ex 1 . x 0 sin x

ln(1 x) tg x

lim	2	.

x 1	ctg x

419. lim(xne x ) .

420.

lim ( 2arctg x) ln x .

tg x

x tg

sinx

422. limx

423. lim

424. lim

x 0

x 0 x

x a

		1

421. lim x2e x2				.
x 0

425. lim		1	x
	1		.
	1	x	.
x		x

x arctg x

1 tg x

e2 x 1

426. lim

427. lim

428. lim

x 0

cos 2x

x 0 ln(1 2x)

ln x

429. lim

430. lim(1 e2x ) ctg x .

431. lim(e2 x x)

x 1 1 x3

x 0

¬25. Наибольшее и наименьшее значения функции

Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных промежутках:

;

x 1

;

432. y

100 x2

( 6 x 8) .

433.

(0 x 4) .

x 1

434. y sin 2x x;

435.Через данную точку P(1; 4) провести прямую так, чтобы сумма длин положительных отрезков, отсекаемых ею на координатных осях, была наименьшей.

436.Полоса железа шириной a должна быть согнута в виде открытого цилиндрического желоба (сечение желоба имеет форму дуги кругового сегмента). Найти значение центрального угла, опирающегося на эту дугу, при котором вместимость желоба будет наибольшей.

Найти наибольшее и наименьшее значения функций в указанных промежутках:

1 x x2

437. y x 2 x; [0; 4].

438.

; (0 x 1) .

1 x x2

439. y 2 tg x

0 x

440.На эллипсе 2x2 + y2 = 18 даны две точки A(1; 4) и B(3; 0). Найти на данном эллипсе третью точку C такую, чтобы площадь треугольника ABC была бы наибольшей.

441.Лампа висит над центром круглого стола радиуса R. При какой высоте лампы над столом освещенность предмета, лежащего на краю стола, будет наилучшая? (Освещенность прямо пропорциональна косинусу угла падения лучей света и обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)

¬26. Исследование функций на экстремум

Исследовать функции на экстремум по первой производной:

442. y	10	. 443. y	x	.	444. y	2	x2 3		.
								6x 7
	4x3 9x2 6x
			ln x		3

Исследовать функции на экстремум по второй производной:

445. y x	a2
		(a 0) .

	x

Исследовать функции на экстремум по первой производной:

446. y 3	(2x a)(a x)2				(a 0) .	447. y x2e x .
448. y		3x2	4x 4	.	449. y x ln(1 x) .
		x2	x 1

Исследовать функции на экстремум по второй производной:

450. y x2 (a x)2 .

¬27. Исследование на перегиб кривой. Асимптоты кривой

Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости функции:

451. y x4

12x3 48x2 50. 452.

y ln(1 x2 ) .

Найти асимптоты данных линий:

453. 2 y(x 1)2 x3 .

454.

y xe

Найти точки перегиба и интервалы вогнутости и выпуклости

функции:

455. y

(a 0) .

456.

(a 0) .

3a2

Найти асимптоты данных линий:

457. y(x2 3bx 2b2 ) x3 3ax2

a3 ;

458. ( y x 1)2 x2 1.

¬28. Исследование функции

Провести полное исследование функции и построить ее схематичный график:

4x2 .

459. y

460. y xe

2 .

461. y

1 x2

462. y (x2 1)3 .

463. y

(x 1)2

464. xy (x2 1)(x 2) .

(x 1)3

––––––––––––––––

Провести полное исследование функции и построить ее

схематичный график:

465. y

466. y(x 1)

x3 .

467. y x2e x .

1 x2

468. y

2x 1

469. y x3e x .

470. y 3 6x 2 x3 .

(x 1)2

Глава 3. Функции нескольких переменных ¬29. Область определения функции двух переменных

Найти и построить область определения функции:


471.	z			y 2x 2		.

			4x 3y2 3

473.	z	4x		2 9 y 36
					.

y x 1

472. z	(x 2 y 4)(5y 3x 15)	.

	3y 9 y 9

x 2 y 2

474. z . ( y 2x 4)(3x 2 y 3)

¬30. Частные производные

Найти частные производные функций:

475. u arctg (x y) z .

476. u

2x t

477. u ln sin(x 2t).

x 2t

478.

f (x; y) x y

в точке (3;4) .

x 2 y 2

479. Проверить, что если

sin

то x

480. Проверить, что если

u x y ,

то

2u .

y x

ln x y

0 ;

481. Проверить, что если

то

482. Проверить, что если

z ln(x 2

xy y 2 ) ,

то

2 .

Найти частные производные функций:

483. z sin

cos

484. z

485. arcsin(t

) .

x y

486. z ln(x

)

точке (1;2) .

487. Проверить, что если

z ln(

то

488. Проверить, что если

u e

то

0 .

489. Проверить, что если

z e

ln y ,

то

y ln y

490. Проверить, что если z e2 sin

, то

1 ex sin2 y .

2 2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 114 5 6 7 8 9 10 11 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.05.201541.24 Кб9маркетинг Натаха.docx
#
10.05.20151.8 Mб163МАРКЕТИНГ- Учебное пособие .pdf
#
10.05.2015219.13 Кб16Маршрутизация.pdf
#
16.03.2016493.17 Кб24МАТЕМ. обработка.pdf
#
10.05.2015357.84 Кб26МАТЕМАТИКА для контрол 9, 10 2009.pdf
#
10.05.2015695.77 Кб50Математика для инженеров.pdf
#
10.05.2015298.16 Кб15математика контр раб №2.pdf
#
10.05.20151.05 Mб21Математика МУ к КР ЗФО 24.04.pdf
#
10.05.20152.69 Mб5Математика Сам раб 140400 140100.pdf
#
10.05.2015403.1 Кб4математика.pdf
#
16.03.2016429.54 Кб6Математика.pdf