Математика для инженеров

491. Проверить, что если u x

x y

, то

u

u

u

1.

y

y z

x

z

492. u p

qr

Найти d pu при p 1, q 3, r 5, p 0,01.

p q r

p

Найти полные дифференциалы функций:

493. z arcsin

x

.

494. z arctg

x y

.

495. z

xyarctg (xy x y)

.

y

1 xy

x y

496. z arcsin(x y), x 3t,

y 4t 3 ;

dz

? .

dt

497. z tg (3t 2x 2 y), x

1

, y

;

dz

?

t

t

dt

498. z x2 ln y, x

u

,

y 3u 2v,

z

?

z

?

u

v

v

499. Найти df (3;4;5), если f (x; y; z)

z

.

x 2 y 2

500. u e x 2 y , где

x sin t,

y t 3 ;

du

?

dt

501. z arctg (xy); найти

dz

, если

y e x .

dx

502. z

Найти d x z

при x 2, y 1,2, x 0,016.

ln xy

Найти полные дифференциалы функций:

y

x

x y

x2 y2

503. z arctg

arctg

. 504.

z

. 505.

z (x 2 y 2 )e

xy

.

x

y

x y

507. u z 2 y 2

zy, z sin t, y et ;

du

?

dt

508. u

eax ( y z)

du

, y a sin x,

z

cos x;

?

a 2 1

dx

509. z x2 y y 2 x, x u cos v, y u sin v;

z

?

z

?

u

v

510. u ln(e x e y ),

u

?

Найти

du

, если

y x 2 .

x

dx

x

du

?

511. u arcsin

, где

z

x 2

1;

z

dx

512. z arcsin(x y), x 3t, y 4t 3 ;

dz

?.

dt

513. z tg (3t 2x2 y), x

1

,

y

;

dz

?

t

dt

t

514. z x2 ln y, x

u

,

y 3u 2v,

z

?

z

?

u

v

v

515. u ex 2 y , где

x sin t,

y t 3 ;

du

?

dt

516. u e x (x cos y y sin y). Показать, что

2u

2u

0 .

y 2

x2

517. u

1

. Показать, что

2u

2u

2u

0.

x2

y 2

z

2

x2 y 2 z 2

518. u z 2

y2 zy, z sin t,

y et ;

du

?

dt

519. u

eax ( y z)

du

, y a sin x,

z cos x;

?

a2

1

dx

y = 0,

x = 1, y = 2.

549.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z e x2 y2

(2x2

3y 2 ) в круге x2 + y2 4.

550.

Найти

наибольшее

и

наименьшее

значения

функции

z = x3 + y3 – 3xy в области 0 x 2,

–1 y 2.

551.

На плоскости Oxy найти точку, сумма квадратов расстояний

которой

от

трех

прямых

x = 0, y = 0, x + 2y – 16 = 0

была бы

наименьшей.

функции z = x2 – y2

552.

Найти наибольшее и наименьшее значения

в

круге

x2 + y2 4.

z = x2y(4 – x – y)

553.

Найти

наибольшее значение

функции

в

треугольнике, ограниченном прямыми x = 0, y = 0, x + y = 6.

554.

Через точку

(a, b, c)

провести

плоскость так, чтобы объем

k

2 a 2

k

555. x a cos ,

y a sin ,

z

a

в данной точке

;

;

2

.

2

2

8

556. y2 + z2 = 25,

x2 + y2 = 10

в точке

(1; 3; 4).

557.

Написать

уравнения

касательной

плоскости к

поверхности:

z = x2 + 2y2 в точке (1; 1; 3).

x2z + y2z = 4 в

558.

Написать

уравнения

нормали

к

поверхности

561. x t sin t,

y 1 cost,

z 4 sin

t

в точке

1;1;2

2

.

2

2

562. 2x2 + 3y2 + z2 = 47, x2 + 2y2 = z в точке

(–2; 1; 6).

563. Написать

уравнение касательной

плоскости

к поверхности

az = x2 + y2 в точках пересечения ее с прямой x = y = z.

564. Написать уравнения нормали к поверхности x2 + y2 (z 5)2 = 0

в

точке (4; 3; 0).

Для данных поверхностей найти уравнения касательных плоскостей

и нормалей в указанных точках:

565. z

x3 3axy y3

566.

y

в точке (a; a; –a).

z arctg

в точке (1; 1;

).

a2

x

4

567. К поверхности x2 + 2y2 + 3z2 = 21

провести касательные плоскости,

573.

Найти угол между градиентами функции u arctg

x

в точках

y

М1(1; 1) и М2( 1; 1).

574.

Найти

угол

между

градиентами функций z

x2 y 2

и

z x 3y

в точке (3; 4).

3xy

z = x2 – 3x2y + 3xy2 + 1

575.

Найти

производную

функции

в

точке

M(3; 1) в направлении, идущем от этой точки к точке (6; 5).

576.

Для функции

u = x2y + xz2 2

найти производную

в

точке

580. Найти градиент скалярного поля u ze x2 y2 z2

в точке O(0; 0; 0).

583.

Найти угол между

градиентами функций u

x2 y 2 z 2

и

v ln(x 2 y 2

z 2 ) в точке М0(0; 0; 1).

584.

Найти

производную

функции z = arctg xy в

точке (1; 1)

в

направлении биссектрисы первого координатного угла.

585.

Для функции u =

x

y

найти производную в точке М0(1; 1) по

y

x