Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
šКузбасский государственный технический университетŸ
А. Г. Изместьев
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ
Курс лекций
Рекомендовано в качестве учебного пособия
учебно-методической комиссией специальности
120303 šГородской кадастрŸ
Кемерово 2010
2
Рецензенты:
Бузук Р. П., профессор кафедры МДКиГ
Трубчанинов А. Д., председатель УМК специальности 120303 šГородской кадастрŸ
Изместьев Анатолий Григорьевич. Математическая обработка геодезических
измерений: курс лекций [Электронный ресурс] : для студентов специальности
120303 šГородской кадастрŸ / А. Г. Изместьев. – Электрон. дан. – Кемерово : ГУ
КузГТУ, 20010. – 1 электрон. опт. диск (CD-ROM) ; зв. ; цв. ; 12 см. – Систем.
требования : Pentium IV ; ОЗУ 512 Мб ; Windows 2000 ; (CD-ROM-дисковод) ;
мышь. - Загл. с экрана.
Курс лекций предназначен для изучения способов уравнивания геодезических
измерений с помощью современных вычислительных средств и содержит в основном
весь материал программы по математической обработке геодезических измерений. В
учебном пособии также рассмотрены основы теории вероятностей и математической
статистики.
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 120303
šГородской кадастрŸ.
ГУ КузГТУ
Изместьев А. Г.
3
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие...................................................................................................... 5
Лекция 1. Основы теории вероятностей и математической статистики .... 6
1.1. События и их виды, относительная частота и вероятность
событий .............................................................................................................. 6
1.2. Случайные величины и их виды, законы распределения случай-
ных величин. Функция распределения вероятностей случайных
величин .............................................................................................................. 7
1.2.1. Случайные величины и их виды ................................................... 7
1.2.2. Законы распределения случайных величин ................................. 8
1.2.3. Функция распределения вероятностей случайных величин .... 10
1.2.4. Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины ............................................................................ 12
1.3. Числовые характеристики случайных величин. Нормальный
закон распределения. Системы случайных величин. Ковариация и
корреляция ...................................................................................................... 13
1.3.1. Числовые характеристики дискретных случайных величин ... 13
1.3.2. Нормальный закон распределения ............................................. 16
1.3.3. Системы случайных величин ...................................................... 19
1.3.4. Ковариация и корреляция ............................................................ 22
1.4. Выборочный метод. Статистические оценки параметров
распределения ................................................................................................ 23
1.4.1. Выборочный метод ...................................................................... 23
1.4.2. Статистические оценки параметров распределения ................ 24
Лекция 2. Теория погрешностей измерений ............................................... 26
2.1. Виды геодезических измерений .................................................... 26
2.2 Погрешности геодезических измерений, их классификация и
свойства .......................................................................................................... 28
2.3. Критерии оценки точности измерений ......................................... 32
Лекция 3. Исследования рядов измерений .................................................. 34
3.1. Обработка ряда равноточных измерений одной и той же
величины ........................................................................................................ 34
3.2. Понятие веса ................................................................................... 36
3.3. Обработка ряда неравноточных измерений ................................. 37
Лекция 4. Определение точности и достоверности геодезической
информации .................................................................................................... 38
4.1. Оценка точности геодезических измерений ................................. 38
4.2. Оценка точности функций геодезических измерений ................. 39
Лекция 5. Уравнивание геодезических измерений, метод
наименьших квадратов .................................................................................. 42
5.1. Метод наименьших квадратов ....................................................... 42
5.2. Сущность и способы уравнивания ................................................ 43
4
Лекция 6. Параметрический способ уравнивания ....................................... 44
6.1. Теоретические основы параметрического способа
уравнивания .................................................................................................... 44
6.2. Способ узлов Попова составления нормальных уравнений ........ 48
6.3. Виды уравнений поправок .............................................................. 49
6.4. Решение нормальных уравнений способом Гаусса ...................... 50
6.5. Алгоритм уравнивания геодезических построений
параметрическим способом ........................................................................... 52
Лекция 7. Коррелатный способ уравнивания .............................................. 52
7.1. Некоторые виды условий в геодезических сетях ......................... 55
7.2. Теория уравнивания коррелатным способом ............................... 57
7.3. Способ полигонов Попова составления нормальных
уравнений по чертежу сети ........................................................................... 59
7.4. Решение нормальных уравнений коррелат ................................... 61
7.5. Оценка точности .............................................................................. 67
Заключение ..................................................................................................... 68
Список рекомендуемой литературы ............................................................ 69
5
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное учебное пособие – обобщенный и систематизированный
свод знаний, теоретическое овладение которыми позволит студентам,
обучающимся по специальности šГородской кадастрŸ эффективно приме-
нять их при решении практических задач по обработке результатов геоде-
зических измерений.
Содержание лекционного курса условно подразделено на три взаи-
мосвязанные части: šОсновы теории вероятностей и математической ста-
тистикиŸ, šТеория погрешностей измеренийŸ и šУравнивание геодезиче-
ских измерений методом наименьших квадратовŸ.
В первой части изложены основные понятия теории вероятностей,
рассмотрены законы распределения случайных величин, знания которых
являются основой для изучения второй части, посвященной анализу по-
грешностей геодезических измерений.
Излагаемые во второй части методы решения задач позволяют рас-
считать необходимую точность предстоящих геодезических измерений и
на основании этого расчета выбрать соответствующие приборы и техно-
логию измерений, а после производства измерений получить наилучшие
их результаты и оценить их точность.
В третьей части представлены основные способы уравнивания гео-
дезических измерений по методу наименьших квадратов с решением кон-
кретных примеров.
Структура пособия отражает тематику дисциплины.
6
Лекция 1. Основы теории вероятностей
и математической статистики
1.1. События и их виды. Относительная частота
и вероятность событий.
Теория вероятностей – математическая дисциплина, изучающая
количественные характеристики случайных явлений при массовом прояв-
лении.
Одно из основных понятий в теории вероятностей – понятие экспе-
римента (опыта). Эксперимент – способ получения информации о слу-
чайных явлениях.
Результатом эксперимента является событие, обозначаемое А, В, С
или с индексами А1, А2 , В1 и т.д.
Пример эксперимента. Розыгрыш лотереи, результат которого – со-
бытие: выигрыш, отсутствие оного.
Современная теория вероятностей излагается на основе теории
множеств. Все возможные элементарные события объединяют в некоторое
множество
Ω = ω1, ω2, ... , ωn ,
где ωi – элементы этого множества.
Пример. Монета бросается три раза. Результат – герб (Г), либо циф-
ра (Ц). Тогда множество Ω будет включать в себя следующие возможные
события
Ω = ГГГ ГЦЦ … .
Из данного множества можно выделить некоторые подмножества,
например появление герба не менее двух раз
А = ГГЦ ГГГ ГЦГ ... .
Это подмножество элементарных событий является также событием.
Из Ω можно образовать большое число (2n) подмножеств, подобных А. Но
в А может не войти ни одно из возможных событий, тогда говорят, что
множество А – пустое и обозначают
А = ѓ† .
Если каждый элемент множества А является в то же время элемен-
том множества В, то А называет подмножеством В и пишут А В.
7
Если А В и В А, то А = В.
Над множеством событий определены следующие операции:
- объединение (сумма) А В;
- пересечение (произведение) А В;
- разность А/В;
- дополнение (противоположное событие) множества А называют
событие Ā, которое не включает в себя элементы, принадлежащие А.
Множества А и Ā не имеют общих элементов. Поэтому А Ā = ѓ† .
Множество ѓ† называется невозможным событием. Если рассматривается
событие, состоящее из всех элементов множества Ω, то событие называет-
ся достоверным.
События А и В называются несовместными, если А В = ѓ† . В про-
тивном случае, если события А и В не имеют пустую область пересечения,
то они называются совместными.
К основным понятиям теории вероятностей относится вероятность
Р(А) – число, характеризующее возможность появления некоторого собы-
тия А при данных условиях.
Вероятность удовлетворяет следующим свойствам:
0 ≤ Р(А) ≤ 1; Р ( ѓ† ) = 0; Р(Ω) = 1; Р(А) + (Ā) = 1.
1.2. Случайные величины и их виды, законы распределения
случайных величин. Функция распределения вероятностей
1.2.1. Случайные величины и их виды.
Ранее мы говорили о событиях, состоящих в появлении того или
иного числа. Например, при бросании игральной кости могли появиться
числа 1, 2, … , 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно,
поскольку оно зависит от многих случайных величин. Здесь число очков
есть величина случайная; числа 1, 2, … , 6 – возможные значения этой ве-
личины.
Случайной называют величину, которая в результате опыта прини-
мает одно и только одно возможное значение, заранее неизвестное.
Случайные величины обозначаются прописными буквами X, Y, Z, а
их возможные значения – строчными (соответствующими) x, y, z.
Например, если случайная величина X имеет три возможных значе-
ния, то они обозначаются: x1, x2, x3.
Рассмотрим второй пример. Расстояние, которое пролетит снаряд
при выстреле, есть случайная величина. Оно зависит не только от уста-
новки прицела, но и от других причин (силы и направления ветра, темпе-
ратуры и т.д.), которые не могут быть полностью учтены. Возможные зна-
чения этой величины принадлежат некоторому промежутку (а, в).
8
Сравним эти два примера. В первом случайная величина принимает
отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероят-
ностями. Такую случайную величину называют дискретной (прерывной).
Во втором примере случайная величина могла принять любое из
значений промежутка (а, в). Здесь нельзя отделить одно возможное значе-
ние от другого промежутком, не содержащим возможных значений слу-
чайной величины. Случайная величина, которая может принимать все
значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка назы-
вают непрерывной.
Случайные погрешности измерений – непрерывная случайная вели-
чина.