3.1. Обработка ряда равноточных измерений

одной и той же величины

При  геодезических  работах  или  исследованиях  новых  приборов  и

методов часто одну и ту же величину измеряют многократно, т. е. произ-

водят с целью контроля и повышения точности избыточные измерения.

Возникает необходимость получить окончательное значение из ряда

^х1^, х2^{, ...  , х}п ^{и оценить точность измерений.}

Какой  результат  из  ряда  наиболее  верный?  Измерения  ведь  равно-

точные. В этом случае за надёжное принимают среднеарифметическое

^(Θ = хср⁾

^хср ^= [xi^{]/n. (3.1)}

Вместо  этой  применяют  более  удобную.  Находят  среднеарифмети-

ческое округленное

^х'ср ^= хо ^+ [εi^]/n

(3.2)

^где хо ^{–  приближенное  значение  измеряемой  величины  (обычно  это  ми-}

^{нимальное значение "х}i^"), а εi ^= хi ^- хо ^{– отклонение от приближенного.}

^{Определяют  отклонения  (v}i^{)  измерений  от  среднеарифметического}

округленного

^vi ^= хi ^- х'ср.

(3.3)

Отклонения от среднеарифметического округленного будут близки

к  истинным  случайным  погрешностям,  если  среднеарифметическое  ок-

ругленное будет близко к истинным значениям измеряемой величины.

35

Отклонения   измерений   от   среднеарифметического   округленного

^(vi^{) обладают следующими свойствами:}

^{1. Алгебраическая сумма v}i  ^{для данного ряда равноточных измере-}

ний равна нулю, т. е.

^[vi^]=0.

2. Сумма квадратов отклонений данного ряда измеренных величин

^{от  среднеарифметического  (х}ср^{)  всегда  будет  меньше  суммы  квадратов}

отклонений измеренных величин данного ряда от любого числа, не равно-

го среднеарифметическому

[v v]< [v^' v^']

3. Сумма квадратов отклонений данного ряда измеренных величин

^{от  среднеарифметического  (х}ср^{)  всегда  будет  меньше  суммы  квадратов}

истинных погрешностей

[v v]< [ΔΔ]

Для  оценки  точности  необходимо  уметь  определять  СКП  по  укло-

нениям от среднеарифметического.

Контролем является равенство

^[vi^{]= - п Δ}окр.

и равенство

^[vi^2]= [εi^2]- [εi^]2/n,

^где Δокр. ^{– ошибка округления при вычислении х}ср^, т. е.

^Δокр.^= х'ср ^- хср.

Вычисляют СКП одного измерения по формуле Бесселя

^m = √[εi^{]/n-1. (3.4)}

Находят СКП из п приемов

μ = m / √n. (3.5)

где xi и xi  – результаты первого и второго измерения i-й величины соот-

36

Находят среднюю погрешность одного измерения

^ν = [vi^{]/п (3.6)}

Находят вероятную (срединную) погрешность r.  Ее либо выбира-

ют из середины упорядоченного ряда

^{r =0,5(∕Δ}п/2^/+/Δп/2^{+1/), (3.7)}

Δ –   в данном случае ν; либо r = 2/3m, при п → ∞.

В геодезии часто величины измеряют дважды. В этих случаях оцен-

ку точности можно осуществить по разностям двойных измерений

^di ^= xi ^– xi'^,

'

ветственно.

СКП одного измерения из ряда определяется по формуле

^mx ^=√[d2]/2n

(3.8)

3.2. Понятие веса

При неравноточных измерениях, принимая окончательное значение

измеренной   величины,   нельзя   использовать   простое   арифметическое

среднее, а необходимо принимать во внимание степень надежности каж-

дого результата.

Надежность результата по отношению к другим величинам ряда из-

мерений, выраженная числом, называется весом результата. Вес – отно-

сительная мера точности.

Чем надежнее результат, тем больше его вес и наоборот. А точность

результата  характеризуется  СКП,  поэтому  вес  принимают  обратно  про-

порциональным квадрату его СКП, т. е.

^Pi ^= μ2 / mi^2,

(3.9)

37

где μ – некоторая постоянная величина (СКП единицы веса; СКП измере-

ния, принятая для ряда за эталон; коэффициент пропорциональности),

^mi ^{– СКП i-го измерения.}

Таким образом, вес определяет соотношение точностей эталонного

и i-го измерений.

^{При μ = m  P}i ^{=1, следовательно μ – СКП измерения, вес которо-}

го равен единице, т. е. СКП единицы веса.

Выбор эталонного измерения может быть произволен и осуществля-

ется для облегчения вычислений.

При вычислении веса достаточно учитывать две значащие цифры.

Вес  арифметического  среднего  равноточных  измерений  равен  еди-

нице.