5.1. Метод наименьших квадратов

Ранее было отмечено, что в геодезии число измерений всегда боль-

ше, чем необходимо для определения искомых величин. Это и при много-

кратных измерениях одной величины, и при совместном измерении мно-

гих  величин,  когда  дополнительно  измеряют  некоторые  из  них,  являю-

щиеся функциями уже измеренных величин (полигонометрия, триангуля-

ция, нивелирование).

43

Пример:  В  треугольнике  измеряют  все  три  угла,  хотя  достаточно

измерить два угла и сторону.

Задача математической обработки геодезических измерений состоит

в том, чтобы используя все измерения, получить однозначно (при наличии

избыточных  измерений  искомые  неизвестные  определяются  неоднознач-

но) все неизвестные, устранить невязки, причем наличие избыточных из-

мерений   позволяет   повысить   точность   искомых   величин,   выполнить

оценку их точности и осуществить надежный контроль. Такие вычисления

называются  уравниванием,  а  получаемые  при  этом  величины  –  уравнен-

ными.

Уравнивание выполняют по методу наименьших квадратов (МНК),

согласно которому измеренные величины получают поправки Vi, удовле-

^{творяющие условию} ^PV 2  ^{ min, где P}i ^{– вес измерения.}

Требование  выполнения  этого  условия  является  основным  принци-

пом МНК. Гауссом и русским математиком Марковым доказано, что этот

принцип приводит к наилучшим оценкам искомых неизвестных: они при

отсутствии  систематических  погрешностей  в  измерениях  являются  не-

смещенными   и   обладают   минимальной   дисперсией   (теория   Гаусса-

Маркова). При коррелированных измерениях условие МНК преобразуется

к виду V  ^Т P V = min, где Р – в общем случае полная матрица, называемая

весовой (при независимых измерениях – диагональная).

5.2. Сущность и способы уравнивания

Так  как  способы  измерений  в  большинстве  задач  геодезии  преду-

сматривают контрольные, повторные или избыточные измерения, то чис-

ло измерений всегда больше, чем требуется для получения искомых зна-

чений.

В общем случае систему измерений можно выразить соотношением

^{между результатами измерений l}i ^{и определяемыми параметрами x}i  j ^= ?

 ^аi x

i j

j

^  ^{li ,                                                (5.1)}

где ai – коэффициенты, постоянные величины.

В  этой  системе  число  определяемых  параметров  xj  (j  =  1,  …,  k)

меньше числа измерений li (i =  1, …, n), т.е. n > k ((n-k) – число избыточ-

ных измерений).

С  учетом  влияния  погрешностей  измерений  исходное  уравнение

(5.1) имеет матричное выражение вида

AX−L = V, (5.2)

44

для которого нельзя найти  такого решения, чтобы вектор  V обращался в

нуль. Вектор V обращается в нуль лишь в частном случае, когда k < n и

система (5.1) определена однозначно.

При k <  n параметры х уравнения (5.2) отыскивают под условием

V ^ТV = (AX – L)  ^Т (AX – L) = min, (5.3)

что соответствует принципу МНК.

Оптимальные оценки x1, …, xk являются следствием решения урав-

нения

А ^ТАХ – А ^ТL = 0, (5.4.)

которое  всегда имеет место, т. к. число неизвестных соответствует

числу уравнений, т. е.

Х = (А ^Т А)  ^-1 А ^Т L (5.5)

Обработка  измерений  по  МНК  подразделяется  на  уравнивании  из-

мерений  или  их  функций,  в результате  которого  находят  окончательные

значения определяемых величин, и оценку точности результатов измере-

ний, уравненных значений и их функций.

Уравнивание  и  оценку  производят  по  специально  разработанным

алгоритмам.

Способы уравнивания:

 по результатам многократных измерений одной величины;

 коррелатный;

 параметрический;

 групповые;

 комбинированные;

 рекурентный.

Лекция 6. Параметрический способ уравнивания