2.3. Критерии оценки точности измерений

Для правильного использования результатов измерений необходимо

знать, с какой точностью, т.е. с какой степенью близости к истинному

значению измеряемой величины, они получены. Характеристикой точно-

сти отдельного измерения в теории погрешностей служит предложенная

Гауссом средняя квадратическая погрешность т, вычисляемая по сле-

дующей формуле:

m 

^21 ^22 ^{ ...  2}n

n



[² ]

n

,

(2.2)

где ∆i = xi – X ;  п — число измерений данной величины, xi  - результат из-

мерения величины, истинное значение которой равно X.

Эта формула применима для случаев, когда известно истинное зна-

чение измеряемой величины. Такие случаи в практике встречаются редко.

В то же время из измерений можно получить результат, наиболее близкий

к истинному значению, — арифметическую средину. Для этого случая

средняя квадратическая погрешность одного измерения подсчитывается

по формуле Бесселя:

m 

[v ² ]

n  1

,

(2.3)

где v — отклонения отдельных значений измеренной величины от ариф-

метической средины, называемые  вероятнейшими погрешностями,  при-

чем [v] = 0.

Точность арифметической средины, естественно, будет выше точ-

ности отдельного измерения. Ее средняя квадратическая погрешность оп-

ределяется по формуле

 i .

θ 

1     ⁿ

ⁿ   i1

(2.3)

При п стремящемся к бесконечности между θ и m существует зави-

симость

θ  4/5m.

33

Часто  в  практике  для  контроля  и  повышения  точности  определяе-

мую величину измеряют дважды — в прямом и обратном направлениях,

например, длину линий, превышения между точками. Из двух полученных

значений за окончательное принимается среднее из них. В этом случае

средняя квадратическая погрешность одного измерения

m 

[d ² ]

2n

,

(2.4)

где  d —  разность двукратно измеренных величин;  п —  число разностей

(двойных измерений).

Вероятная  или  срединная  погрешность  r  находится  в  середине

ряда, в котором все ошибки располагают по убыванию или возрастанию

их абсолютных значений

r  0,5( n/2  (n/2  1) )

(2.5)

При  п стремящемся к бесконечности r = 2/3 m.

В соответствии с первым свойством случайных погрешностей   для

абсолютной величины случайной погрешности при данных условиях из-

мерений существует допустимый предел, называемый предельной по-

грешностью. В строительных нормах предельная погрешность называет-

ся допускаемым отклонением.

Теорией  погрешностей  измерений  доказывается,  что  абсолютное

большинство  случайных  погрешностей  (68,3%)  данного  ряда  измерений

находится  в  интервале  от  0  до  Ì  т;  в  интервал  от  О  до  ¾  2т  попадает

95,4%, а от 0 до Ì3m — 99,7 % погрешностей. Таким образом, из 100 по-

грешностей  данного  ряда  измерений  лишь  пять  могут  оказаться  больше

или равны 2т, а из 1000 погрешностей только три будут больше или рав-

ны  Зm.  На  основании  этого  в  качестве  предельной  погрешности  ∆пр  для

данного  ряда  измерений  принимается  утроенная  средняя  квадратическая

^{погрешность, т. е. ∆}пр ^{= Зт. На практике во многих работах для повыше-}

^{ния  требований  точности  измерений  принимают  ∆}пр  ^{=  2т.  Погрешности}

^{измерений, величины которых превосходят ∆}пр^{, считают грубыми.}

Все   приведенные   выше   погрешности   называют   абсолютными.

Кроме абсолютных имеются  относительные погрешности, которыми

называют отношение абсолютной ошибки к среднему значению измеряе-

мой величины. Относительные погрешности выражают дробью, числитель

которой равен единице, а знаменатель — отношению среднего значения

измеряемой величины к абсолютной ошибке. В зависимости от исполь-

34

зуемой абсолютной ошибки относительные ошибки называют: средней

квадратической относительной, средней относительной, вероятной отно-

сительной, предельной относительной.

Например,  относительная  средняя  квадратическая  погрешность  из-

мерения линии длиной l = 110 м при   mi  = 2 см равна mi / l = 1/5500, а от-

^{носительная предельная погрешность при  ∆}пр ^{= Зт = 6 см   ∆}пр ^/ l =

= 1/1800.

Лекция 3. Исследования рядов измерений