Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
Фурье
Рядом называется выражение вида
(11.1)
каждое слагаемое при этом называется членом ряда.
Если все члены ряда – числа, то ряд называется числовым, если же они являются функциями, то ряд называется функциональным. Сумма конечного числа n первых членов числового ряда называется n-й частичной суммой:
(11.2)
Остатком ряда (11.1) называется выражение
.
Если существует конечный предел частичных сумм
(11.3)
то он называется суммой ряда. Ряд в этом случае называется сходящимся. В противном случае ряд расходится и суммы не имеет.
Если все члены
числового ряда положительны, то ряд
называется знакоположительным.
Ряд, содержащий как положительные, так и отрицательные члены, называется знакопеременным.
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
(11.4)
где
Числовые ряды
Необходимый признак сходимости. Если ряд (11.1) сходится, то его общий член Un стремится к нулю при неограниченном возрастании номера n:
(11.5)
Знакоположительные числовые ряды
Признаки сравнения рядов. Пусть даны два знакоположительных ряда:
(11.6)
(11.7)
1) если выполняется
и ряд (11.7) сходится, то сходится и ряд
(11.6);
2) если выполняется
и ряд (11.7) расходится, то расходится и
ряд (11.6).
Признак сходимости Д’Аламбера. Если для знакоположительного числового ряда (11.1) существует предел
то
(11.8)
1) ряд (11.1) сходится в случае
,
2) ряд (11.1) расходится в случае
Знакопеременные числовые ряды
Знакопеременный числовой ряд (11.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
(11.9)
составленный из модулей его членов.
Если знакопеременный ряд (11.1) сходится, а ряд (11.9) расходится, то ряд (11.1) называется условно сходящимся.
Признак сходимости Лейбница. Знакочередующийся числовой ряд (11.4) сходится, если выполняются два условия:
1) абсолютные величины его членов
монотонно убывают, т. е.
2)
Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
(11.10)
или
(11.11)
где
– определенные числа.
Радиусом сходимости ряда (11.10)
называется число R такое, что при
ряд сходится, а при
ряд расходится. При
ряд может либо сходиться, либо расходиться.
Интервал
называется
интервалом сходимости, для ряда (11.11)
это интервал
.
Степенной ряд сходится абсолютно, если сходится ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд
(или
).
(11.12)
Радиус сходимости ряда (11.10) и (11.11) определяется формулой
(11.13)
Рядом Фурье периодической функции
с периодом 2π, определенной на отрезке
[π; π],
называется ряд
где
(11.14)
(11.15)
Теорема Дирихле. Если 2-периодическая
функция
является кусочно-гладкой на
,
то ее ряд Фурье сходится к
в каждой ее точке непрерывности и к
значению
в точке разрыва (
левосторонний
предел в точке
,
правосторонний
предел).