- •1. Учебная программа
- •1.1. Тематический план предмета
- •Специальность 1-08 01 01-02 «Профессиональное обучение. (Радиоэлектроника)»
- •Специальность 1-08 01 01-07 «Профессиональное обучение. (Информатика)»
- •1.2. Содержание предмета
- •Раздел 1. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Векторная алгебра
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Предел и непрерывность
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
- •Раздел 7. Функции многих переменных
- •Раздел 8. Интегральное исчисление функции
- •Раздел 9. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Теория вероятностей
- •2. Общие методические указания
- •3. Краткие теоретические сведения
- •Раздел 1. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Векторная алгебра
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Предел и непрерывность
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
- •Раздел 7. Функции многих переменных
- •Раздел 8. Интегральное исчисление функции одной
- •Раздел 9. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Теория вероятностей
- •4. Задания контрольных работ
- •4.1. Контрольная работа 1
- •4.2. Контрольная работа 2
- •4.3. Контрольная работа 3
- •5. Методические рекомендации
- •5.1. Контрольная работа 1. Примеры решения
- •5.2. Контрольная работа 2. Примеры решения
- •5.3. Контрольная работа 3. Примеры решения
- •6. Вопросы для самоконтроля
- •Раздел 1. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Векторная алгебра
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Предел и непрерывность
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
- •Раздел 7. Функции многих переменных
- •Раздел 8. Интегральное исчисление функции
- •Раздел 9. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Теория вероятностей
- •Содержание
Раздел 13. Операционное исчисление
Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет условиям:
1) при
2) f(t) – кусочно-непрерывна при причем на любом конечном отрезке оси t имеет конечное число точек разрыва I рода;
3) при где и – некоторые действительные числа.
Изображением оригинала f(t) называется функция F(p) комплексной переменной определяемая интегралом
(13.1)
Операция перехода от оригинала f(t) к изображению F(р) называется преобразованием Лапласа.
Соответствие между оригиналом f(t) и изображением F(p) записывают в виде
или
Свойства преобразования Лапласа:
1. Линейность:
где С1, С2 – произвольные постоянные,
2. Подобие:
где – число;
3. Смещение:
где а – любое число.
4. Запаздывание:
где – число.
5. Дифференцирование оригинала:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
где
6. Дифференцирование изображения:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
где
7. Интегрирование оригинала:
где
8. Интегрирование изображения:
где
9. Умножение изображений:
где
Оригиналы и изображения основных элементарных функций представлены в табл. 3.1.
Т а б л и ц а 3.1
Оригинал f(t) |
Изображение F(p) |
Оригинал f(t) |
Изображение F(p) |
1. 1 |
|
6. |
|
2. |
|
7. |
|
3. |
|
8. |
|
4. |
|
9. |
|
5. |
|
10. |
|
Раздел 14. Теория вероятностей
Число всех перестановок множества из n элементов определяется формулой
(14.1)
Число всех размещений (без повторений) из n элементов по k определяется формулой
(14.2)
Число всех сочетаний из n элементов по k определяется формулой
(14.3)
Теорема. Количество различных комбинаций элементов вида (а1, а2, …, аr), где аl – элемент l-й группы, состоящей из nl элементов, равно
(14.4)
Формула классической вероятности
(14.5)
где m – число благоприятных для события А исходов;
n – число всех исходов эксперимента.
Формула (14.5) используется только в опытах с равновозможными и попарно несовместными исходами.
Основные свойства вероятности:
1)
2)
3)
4)
Суммой событий А и В называется событие А + В, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А и В; произведением – одновременное осуществление событий А и В.
Если где Ø – пустое множество, то А и В называются несовместными.
Событием, противоположным А, называется событие , состоящее в том, что А не происходит.
Теорема (сложения). Для любых событий А и В верна формула
(14.6)
В случае, когда А и В – несовместные события,
(14.7)
Условная вероятность события А при условии, что произошло событие В с определяется формулой
(14.8)
Теорема (умножения). Для любых событий А и В верна формула:
, (14.9)
если А и В – независимые события, то
(14.10)
Математическое ожидание случайной величины определяется формулой
, (14.11)
где значения величины ;
.
Дисперсия случайной величины определяется формулой
(14.12)
или
, (14.13)
где (14.14)
Среднее квадратическое отклонение случайной величины определяется формулой
. (14.15)