- •1. Учебная программа
- •1.1. Тематический план предмета
- •Специальность 1-08 01 01-02 «Профессиональное обучение. (Радиоэлектроника)»
- •Специальность 1-08 01 01-07 «Профессиональное обучение. (Информатика)»
- •1.2. Содержание предмета
- •Раздел 1. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Векторная алгебра
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Предел и непрерывность
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
- •Раздел 7. Функции многих переменных
- •Раздел 8. Интегральное исчисление функции
- •Раздел 9. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Теория вероятностей
- •2. Общие методические указания
- •3. Краткие теоретические сведения
- •Раздел 1. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Векторная алгебра
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Предел и непрерывность
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
- •Раздел 7. Функции многих переменных
- •Раздел 8. Интегральное исчисление функции одной
- •Раздел 9. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Теория вероятностей
- •4. Задания контрольных работ
- •4.1. Контрольная работа 1
- •4.2. Контрольная работа 2
- •4.3. Контрольная работа 3
- •5. Методические рекомендации
- •5.1. Контрольная работа 1. Примеры решения
- •5.2. Контрольная работа 2. Примеры решения
- •5.3. Контрольная работа 3. Примеры решения
- •6. Вопросы для самоконтроля
- •Раздел 1. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Векторная алгебра
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Предел и непрерывность
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
- •Раздел 7. Функции многих переменных
- •Раздел 8. Интегральное исчисление функции
- •Раздел 9. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Теория вероятностей
- •Содержание
3. Краткие теоретические сведения
Раздел 1. Комплексные числа
Алгебраическая форма записи комплексного числа:
где х и у – действительные числа, .
Числа вида и называются сопряженными.
Если два комплексных числа, то арифметические операции над ними выполняются по следующим правилам:
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
Всякое комплексное число может быть представлено в тригонометрической форме
(1.5)
или в показательной форме
(1.6)
где модуль числа z;
главное значение аргумента.
Если то справедливы следующие формулы (в тригонометрической форме):
(1.7)
(1.8)
(1.9)
Формула (1.9) называется формулой Муавра.
Если то справедливы следующие формулы (в показательной форме):
(1.10)
(1.11)
(1.12)
Для извлечения корня n-й степени из комплексного числа используется формула, дающая значений этого корня. В тригонометрической форме она имеет вид
(1.13)
где
В показательной форме она имеет вид
(1.14)
где
Если дано уравнение где то решениями этого уравнения будут числа:
(1.15)
где
Если в уравнении , где – комплексные числа, то решениями этого уравнения будут комплексные числа:
(1.16)
где два значения квадратного корня из
Раздел 2. Линейная алгебра
Матрицей размеров на называется прямоугольная таблица, составленная из элементов некоторого множества. Матрица, элементами которой являются числа, называется числовой.
Операции сложения и вычитания вводятся для матриц одинаковых размеров.
Сложение матриц
,
Умножение матриц на число
,
где постоянная.
Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной.
Произведением матрицы на матрицу называется матрица элементы которой находятся по формуле
.
Определители
Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.
Если , то определителем второго порядка называется число
.
Если , то определителем третьего порядка называется число
.
Из этой формулы видно, что определитель третьего порядка можно вычислить по правилу треугольников:
. Соединенные элементы перемножаются.
Разложение определителя по первой строке
Раздел 3. Векторная алгебра
Скалярным произведением двух векторов и называется число, обозначаемое (или ) и равное произведению модулей данных векторов на косинус угла между ними:
(3.1)
Свойства скалярного произведения векторов:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Если то
(3.2)
(3.3)
(3.4)
Векторным произведением векторов и называется вектор, обозначаемый (или ), который удовлетворяет следующим трем условиям:
1) (3.5)
2)
3) тройка векторов – правая.
Основные свойства векторного произведения векторов:
1)
2)
3)
4)
5)
где площадь параллелограмма, построенного на векторах и (геометрический смысл векторного произведения);
6)
Если то
(3.6)
Смешанным произведением векторов называется число, обозначаемое которое вычисляется как скалярное произведение векторов и : .
Основные свойства смешанного произведения векторов:
1)
2)
3)
где объем параллелепипеда, построенного на векторах (геометрический смысл смешанного произведения);
4) если , то тройка векторов правая,
если , то тройка векторов левая;
5) компланарны.
Если то
(3.7)