5.2. Контрольная работа 2. Примеры решения

типовых заданий

Задание 1. Найти предел функции используя правило Лопиталя.

Решение. Имеем неопределенность вида 0⁰. Положим и прологарифмируем обе части этого равенства:

Найдем

Имеет место неопределенность вида преобразуем ее к неопределенности вида а затем применим правило Лопиталя:

Полученное выражение также представляет собой неопределенность вида Применив еще раз правило Лопиталя, получим:

Следовательно,

Задание 2. Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции при х = 0,97.

Решение. Воспользуемся формулой (6.24).

Пусть

Тогда

Получим

Задание 3. Вычислить все частные производные второго порядка функции

Решение. Считая z функцией, зависящей только от х, получаем

Аналогично, считая z функцией, зависящей только от y, получаем:

Затем, считая функцией, зависящей только от х, получаем:

Считая функцией, зависящей только от y, получаем:

Считая функцией, зависящей только от y, получаем:

Считая функцией, зависящей только от х, получаем

Задание 4. Найти если

Решение. Находим считая u функцией, зависящей только от х,

Далее, считаем функцией, зависящей только от z, находим:

Вычисляем считая функцией, зависящей только от z,

Затем, считая функцией, зависящей только от х, находим:

Задание 5. Вычислить неопределенные интегралы:

а) б)

Решение. а) Положим тогда

Подставим полученные значения в подынтегральное выражение и на основании формул (8.5), (8.20) получим:

б) Дважды применив метод интегрирования по частям (формула (8.21)), получим:

Задание 6. Вычислить определенные интегралы:

а) б)

в)

Решение. а) Подынтегральная функция является рациональной функцией от sin x и cos x:

Она является нечетной и по sin x и по cos x, т. е. . Поэтому применяем подстановку Так как верны формулы:

; ,

то после замены имеем:

, .

Если то Если то Тогда

(выделив в знаменателе подынтегрального выражения полный квадрат, получим):

Согласно формулам (8.7), (8.20) таблицы интегралов имеем:

б) Для подынтегральной функции

применим универсальную тригонометрическую подстановку:

Тогда

Если то Если то Тогда

Подынтегральная функция представляет собой правильную рациональную дробь, знаменатель которой . Тогда разложение подынтегральной функции на простейшие дроби имеет вид

Приведя правую часть последнего равенства к общему знаменателю и приравняв числители дробей, получим тождество:

.

Сгруппируем члены при одинаковых степенях

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получаем систему уравнений:

из которой находим А = –1, В = 2, С = 2.

Таким образом, разложение рациональной дроби на простейшие дроби имеет следующий вид:

Следовательно,

Согласно формулам (8.7), (8.10), находим:

Задание 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Уравнение является однородным. Запишем его в виде (9.2). Разделив обе части уравнения на получим:

Разделим числитель и знаменатель дроби на х² при условии :

Вводим замену откуда

Тогда уравнение имеет вид

Умножив обе его части на получим:

Умножая обе части последнего уравнения на разделяем переменные и интегрируем:

Вычислим интеграл

Подставляя вместо u, получим общее решение дифференциального уравнения:

Задание 8. Найти общее решение дифференциального уравнения Решить задачу Коши при начальном условии

Решение. Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка следующего вида:

где

Решим уравнение методом Лагранжа. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения Имеем

Это уравнение с разделяющимися переменными. Умножив обе части этого уравнения на получим Почленно интегрируя, имеем:

Решение неоднородного уравнения ищем в виде

где с(х) – неизвестная функция.

Подставляя в исходное уравнение

приходим к уравнению

Отсюда

Таким образом, получим общее решение неоднородного уравнения:

Используя начальное условие, определим значение произвольной постоянной:

Следовательно, частное решение исходного уравнения имеет вид

Задание 9. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение. Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения Характеристическое уравнение имеет корень кратности два и корень Тогда общее решение однородного уравнения