Раздел 5. Предел и непрерывность

Действительные числа и числовая ось. Модуль действительного числа. Окрестность точки.

Понятие числовой последовательности. Способы задания числовой последовательности. Ограниченная и монотонная последовательность.

Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Монотонные последовательности. Критерии сходимости монотонной последовательности. Число «е».

Понятие предела функции в точке по Коши и по Гейне. Предел функции в бесконечности.

Односторонние пределы.

Свойства функций, имеющих предел.

Виды неопределенностей. Раскрытие неопределенностей.

Первый и второй замечательные пределы.

Эквивалентные функции. Таблица эквивалентности бесконечно малых.

Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва функции. Непрерывность функции на промежутке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Асимптоты графика функции.

Литература [7, § 10.1–10.3, 10.5–10.9, 10.13, 10.14], [11, § 4.1–4.4]

Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции

одной переменной

Производная функции, ее геометрический и физический смысл.

Основные правила дифференцирования. Таблица производных.

Дифференцирование сложной и обратной функций. Логарифмическая производная.

Дифференцирование функций, заданных параметрически и явно.

Дифференциал функции, его геометрический смысл, использование в приближенных вычислениях.

Производные и дифференциалы высших порядков.

Правило Лопиталя.

Формула Тэйлора. Разложение основных элементарных функций по формуле Маклорена.

Условие монотонности функции.

Локальный экстремум функции: необходимое и достаточное условия.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Необходимые и достаточные условия выпуклости и перегиба графика функции.

Исследование функций и построение графиков.

Литература [7, § 11.1–11.15, § 12.1–12.9], [11, § 5.1–5.7]

Раздел 7. Функции многих переменных

Понятие функции многих переменных. Предел функции в точке, непрерывность.

Частные производные функций многих переменных.

Дифференцируемость функции многих переменных и ее дифференциал.

Производная по направлению. Градиент.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных.

Понятие неявной функции, определяемой одним уравнением и ее дифференцируемость.

Необходимые и достаточные условия экстремума функций многих переменных.

Литература [8, § 18.1–18.9, § 18.11], [12, § 7.1–7.8]

Раздел 8. Интегральное исчисление функции

одной переменной

Первообразная и ее свойства.

Интегрирование методами поднесения под дифференциал и замены переменной в неопределенном интеграле.

Интегрирование по частям в неопределенном интеграле.

Интегрирование простейших рациональных дробей и рациональных функций.

Интегрирование иррациональных функций.

Интегрирование тригонометрических выражений.

Определенный интеграл, его геометрический и физический смыслы.

Основные свойства определенного интеграла, теорема о среднем.

Теорема о существовании первообразной для непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбница.

Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

Литература [7, § 15.1–15.7, § 16.1–16.8], [12, § 8.1–8.6]