Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции

одной переменной

6.1. Что называется производной функции?

6.2. В чем состоит геометрический и физический смысл производной.

6.3. Запишите основные правила дифференцирования (производная суммы, произведения и частного функции).

6.4. Как найти производную сложной функции?

6.5. Как найти производную обратной функции?

6.6. Как найти производную функции, заданной параметрически?

6.7. Запишите производные основных элементарных функций (таблица производных).

6.8. Воспроизведите схему вычисления логарифмической производной.

6.9. Что называется дифференциалом функции?

6.10. Как используется дифференциал функции в приближенных вычислениях?

6.11. Что называется производной n-го порядка функции?

6.12. Запишите определение, свойства и производные гиперболических функций

6.13. Запишите уравнения касательной и нормали к графику функции в точке (x₀, f(x₀)).

6.14. Как найти высшие производные параметрически заданных функций?

6.15. Запишите формулу Лейбница для нахождения производной n-го порядка произведения двух функций.

6.16. Дайте определение локального минимума и локального максимума функции (локального экстремума).

6.17. Сформулируйте необходимое условие дифференцируемости функции (теорема Ферма).

6.18. Сформулируйте правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида и

6.19. Как с помощью правила Лопиталя раскрыть неопределенности вида: ?

6.20. Напишите формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа для произвольной функции

6.21. Запишите разложения основных элементарных функций по формуле Маклорена.

6.22. Как используется формула Тейлора для приближенных вычислений, для вычисления пределов функций?

6.23. Сформулируйте первое достаточное условие экстремума функции.

6.24. Сформулируйте второе достаточное условие экстремума функции и достаточное условие экстремума с использованием производных высших порядков.

6.25. Как найти промежутки монотонности функции?

6.26. Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

6.27. Какая функция называется вогнутой и выпуклой?

6.28. Сформулируйте необходимое условие выпуклости и вогнутости функции на интервале.

6.29. Сформулируйте достаточное условие выпуклости и вогнутости функции.

6.30. Какая точка называется точкой перегиба функции?

6.31. Сформулируйте необходимое условие перегиба.

6.32. Сформулируйте первое достаточное условие перегиба.

6.33. Сформулируйте достаточное условие перегиба с использованием производных высших порядков.

6.34. Какая прямая называется горизонтальной асимптотой?

6.35. Какая прямая называется вертикальной асимптотой графика функции?

6.36. Какая прямая называется наклонной асимптотой графика непрерывной функции?

6.37. Как найти наклонную асимптоту графика функции?

6.38. В чем состоит план исследования функции?

Раздел 7. Функции многих переменных

7.1. Как определяются функции 2-х и 3-х переменных?

7.2. Что является областью определения функции 2-х и 3-х переменных? Где расположена область определения?

7.3. Как определяется график функции 2-х и 3-х переменных?

7.4. Можно ли изобразить график функции 3-х переменных?

7.5. Что такое линии и поверхности уровня?

7.6. Что называется частной производной функции многих переменных?

7.7. Сформулируйте необходимое условие дифференцируемости функции многих переменных.

7.8. Сформулируйте достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных в точке.

7.9. Что называется полным дифференциалом функции многих переменных?

7.10. Что называется градиентом дифференцируемой функции?

7.11. Как найти частные производные сложной функции?

7.12. Что называется касательной плоскостью и нормалью к поверхности, определяемой функцией Напишите их уравнения.

7.13. Что называется частными производными высших порядков?

7.14. Сформулируйте теорему о равенстве смешанных производных.

7.15. Что называется неявной функцией?

7.16. Запишите формулу для нахождения производной заданной неявно уравнением

7.17. Какие точки называются точками локального экстремума функции многих переменных?

7.18. Сформулируйте необходимое и достаточное условие экстремума функции двух переменных.

7.19. Как найти наименьшее и наибольшее значения функции двух переменных в замкнутой области?