5.3. Контрольная работа 3. Примеры решения

типовых заданий

Задание 1. Записать первые четыре члена ряда. Исследовать сходимость числового ряда

Решение. Запишем первые четыре члена ряда

(n = 1, 2, 3, 4):

Это знакоположительный ряд.

Применим признак Д’Аламбера:

Так как согласно формуле (11.8), то ряд сходится.

Задание 2. Найти радиус и область сходимости степенного ряда

Решение. Формула коэффициентов ряда –

По формуле (11.13) получаем:

Поэтому интервал является интервалом сходимости данного ряда. Исследуем сходимость ряда на концах промежутка . При получаем гармонический ряд, который расходится:

При получаем знакочередующийся ряд, который сходится по признаку Лейбница:

Следовательно, исходный ряд сходится на промежутке

Задание 3. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в ряд Маклорена.

Решение. Используя разложения в степенной ряд, получим:

Мы взяли два слагаемых, так как третье по модулю меньше требуемой точности Поэтому, начиная с третьего, все последующие слагаемые отбрасываем.

Задание 4. Построить ряд Фурье для 2-периодической функции, исследовать его на сходимость:

Решение. Вычислим коэффициенты:

Так как n = 0, 1, 2, …, то

Таким образом, искомый ряд Фурье функции имеет вид

Функция (рис. 5.4) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле, поэтому в точках ее непрерывности ряд Фурье сходится к , а в точках разрыва сумма полученного ряда равна 1, так как

Рис. 5.4

Задание 5. Найти изображение функции

Решение. Используем свойство линейности преобразования Лапласа и формулу (8) табл. 3.1 оригиналов и изображений при Получим:

Задание 6. Найти оригинал для изображения

Решение. Представим в виде

где А и В – неопределенные коэффициенты.

Найдем А и В из равенства А(р + 1) + В(р – 2) = р.

Раскроем скобки слева и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа от знака равенства:

Ар + А + Вр – 2В = р,

(А + В)р + А – 2В = р.

Отсюда или

Поэтому

Используя свойство линейности и формулу таблицы оригиналов и изображений, получаем искомый оригинал:

Задание 7. Из 15 лотерейных билетов, среди которых 5 выигрышных, наугад выбирают 4 билета. Найти вероятность того, что среди выбранных билетов будет:

а) два выигрышных;

б) хотя бы один проигрышный.

Решение.

а) Обозначим выигрышных билета из Тогда

где – число всех исходов;

– число исходов, благоприятных для события А.

Тогда

б) Обозначим хотя бы один проигрышный билет из Перейдем к противоположному событию ни одного проигрышного билета из все 4 билета выигрышные}.

Тогда

где

т. е.

Далее, по четвертому основному свойству вероятностей, получаем:

Ответ: а) б)

Задание 8. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х (табл. 5.1). Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение. Построить многоугольник распределения Х.

Т а б л и ц а 5.1

Х	10	20	30	40	50
Р	0,2	0,3	0,35	0,1	0,05

Решение. Математическое ожидание М(Х) вычисляем по формуле (14.11):

Для нахождения дисперсии воспользуемся формулами (14.14) и (14.13):

Среднее квадратичное отклонение найдем по формуле (14.15):

Многоугольник распределения имеет вид, представленный на рис. 5.5.

Рис. 5.5