- •1. Учебная программа
- •1.1. Тематический план предмета
- •Специальность 1-08 01 01-02 «Профессиональное обучение. (Радиоэлектроника)»
- •Специальность 1-08 01 01-07 «Профессиональное обучение. (Информатика)»
- •1.2. Содержание предмета
- •Раздел 1. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Векторная алгебра
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Предел и непрерывность
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
- •Раздел 7. Функции многих переменных
- •Раздел 8. Интегральное исчисление функции
- •Раздел 9. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Теория вероятностей
- •2. Общие методические указания
- •3. Краткие теоретические сведения
- •Раздел 1. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Векторная алгебра
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Предел и непрерывность
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
- •Раздел 7. Функции многих переменных
- •Раздел 8. Интегральное исчисление функции одной
- •Раздел 9. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Теория вероятностей
- •4. Задания контрольных работ
- •4.1. Контрольная работа 1
- •4.2. Контрольная работа 2
- •4.3. Контрольная работа 3
- •5. Методические рекомендации
- •5.1. Контрольная работа 1. Примеры решения
- •5.2. Контрольная работа 2. Примеры решения
- •5.3. Контрольная работа 3. Примеры решения
- •6. Вопросы для самоконтроля
- •Раздел 1. Комплексные числа
- •Раздел 2. Линейная алгебра
- •Раздел 3. Векторная алгебра
- •Раздел 4. Аналитическая геометрия
- •Раздел 5. Предел и непрерывность
- •Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
- •Раздел 7. Функции многих переменных
- •Раздел 8. Интегральное исчисление функции
- •Раздел 9. Дифференциальные уравнения
- •Раздел 11. Числовые и функциональные ряды. Ряды
- •Раздел 13. Операционное исчисление
- •Раздел 14. Теория вероятностей
- •Содержание
Раздел 4. Аналитическая геометрия
Вектор , перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой. Общим уравнением прямой на плоскости, с нормальным вектором и проходящей через точку , называется уравнение вида
.
Если обозначить , то общее уравнение прямой имеет вид
.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид
,
где – угловой коэффициент прямой,
угол наклона прямой к положительному направлению оси ,
величина отрезка, отсекаемого прямой на оси .
Вектор , параллельный данной прямой, называется направляющим вектором прямой. Каноническим уравнением прямой, параллельной вектору и проходящей через точку , называется уравнение вида
.
Уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет вид
.
Каноническое уравнение эллипса с центром в точке и полуосями а и b имеет вид
Каноническое уравнение гиперболы с центром в точке и полуосями а, b имеет вид
.
Каноническое уравнение параболы с вершиной в точке имеет вид
.
Раздел 5. Предел и непрерывность
Широко используются следующие замечательные пределы:
1) (5.1)
2) (5.2)
или
где (5.3)
Функция называется непрерывной в точке если она определена в некоторой окрестности точки и если
Раздел 6. Дифференциальное исчисление функции
одной переменной
Основные правила дифференцирования:
(6.1)
(6.2)
(6.3)
(6.4)
(6.5)
Таблица производных основных элементарных функций:
, (6.6)
в частности,
, (6.7)
в частности, (6.8)
, (6.9)
в частности, (6.10)
(6.11)
(6.12)
(6.13)
(6.14)
(6.15)
(6.16)
(6.17)
(6.18)
(6.19)
(6.20)
(6.21)
(6.22)
Правило дифференцирования сложной функции
Если т. е. то
(6.23)
Приближенное вычисление с помощью дифференциала
Если приращение Δх аргумента мало по абсолютной величине, то и верна формула:
(6.24)
Правило Лопиталя
При раскрытии неопределенности и применяется правило Лопиталя: если f и g – непрерывные функции, имеющие производные в проколотой окрестности точки х0, причем , в указанной окрестности, (или ) и существует , то .
Аналогичное правило справедливо при условии .
Правило Лопиталя дает возможность раскрыть также неопределенности типа , преобразовав их вначале к виду или .
Неопределенность типа сводится к неопределенности типа или следующим образом:
или
Для неопределенности получаем т. е. неопределенность типа
Неопределенности типа можно свести к неопределенности предварительно прологарифмировав соответствующее выражение или воспользовавшись равенством