2.5 Тяготение

Закон всемирного тяготения или гравитации (Ньютон 1678г.):

Материальные точки притягиваются друг к другу с силой F, пропорциональной их массам m₁ и m₂ и обратно пропорциональной квадрату расстояния r между ними.

Точно так же, между любыми двумя материальными телами действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих тел и обратно пропорциональная расстояния между ними:

где G=6,67·10⁻¹¹м³/кг·с² коэффициент пропорциональности (экспериментально определил Кавендиш 1798г.).

Когда m₁=m₂=100кг, r=1м, F≈10⁻⁶Н.

Сила притяжения между Землей и Луной ~10²⁰Н, а между молекулами (r≈3·10⁻¹⁰м) кислорода −~10 ⁻³²Н (разница 10⁵²раз!). Т.е. эта сила огромно для небесных тел, ничтожна для частиц микромира и справедлив не только для материальных точек, но и для крупных тел любой формы.

Сила тяжести − эта сила, которая действует на всякое тело с массой m, находящей на Земле

Сила тяжести = сила гравитации. P=mg=F=G ,

где M и R − масса и радиус Земли соответственно.

Вес тела это сила, с которой тело вследствие притяжения Земли действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения.

Невесомость, состояние, когда тело движется под действием только силы тяжести, т.е. с ускорением свободного падения.

Сила тяжести действует всегда, а вес проявляется только в том случае, когда на тело кроме силы тяжести действуют еще и другие силы, вследствие чего оно движется с ускорением a≠g.

Если тело движется в поле тяготения Земли с ускорением a≠g, это означает, что не него действует дополнительная сила N и второй закон Ньютона − N+P=ma. Тогда вес тела

Если тело покоится или движется прямолинейно и равномерно, то

a=0, P′=mg.

Если тело свободно подает в поле тяготения, то a=g, и P′=0 (невесомость).

Гравитационное поле или поле тяготения является потенциальным, а силы тяготения − консервативными.

С одной стороны g − ускорение свободного падения, а с другой стороны− − напряженность поля тяготения − силовая характеристика поля гравитации и определяется силой, действующей со стороны поля на материальное тело единичной массы.

Элементарная работа в гравитационном поле

.

, зависит от R₁ и R₂

С другой стороны, эта работа равняется изменению потенциальной энергии: A=−ΔW_p=−(W₂−W₁)=W₁−W₂.

Сравнивая оба значения работы, находим

Потенциал поля тяготения − это скалярная величина, определяемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единичной массы из данной точки поля до бесконечности.

Эквипотенциальные поверхности для материальной точки − это сфера. (φ=const)

Связь между потенциалом (φ) поля тяготения и его напряженностью (g) определяется из dA=−mdφ и dA=Fdℓ=mgdℓ, mgdℓ=−mdφ, отсюда (dℓ − элементарное перемещение).

, ( направлен в сторону убывания потенциала).

Космические скорости

Для запуска ракет в космическое пространство надо им сообщить определенные начальные скорости, называемые космическими.

I космической (или круговой) скоростью υ₁ называют такую минимальную скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться вокруг Земли по круговой орбите, т.е. превратится в искусственный спутник Земли.

На спутник, движущийся по круговой орбите радиусом r, действует сила тяготения Земли, сообщающая ему нормальное ускорение . По второму закона Ньютона: . Отсюда , т.к.

Вблизи Земли r=R₀=~6400км, поэтому .

II космической (или параболической) скоростью υ₂, называют ту наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно оторвалось от Земли и превратилось в спутник Солнца (т.е. планету или астероид).

Д ля этого кинетическая энергия тела должна быть равна работе совершаемой против сил тяготения при перемещении тела от R₀ до ∞.

и т.к. ,

Отметим, что направление скорости υ₂ может быть каким угодно: тело станет искусственной планетой при любом направлении скорости υ₂.

Третьей космической скоростью υ₃ называют скорость, которую необходимо сообщить телу на Земле, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы, преодолев притяжение Солнца. Формула для скорости υ₃ такая же как для υ₂, только центральное тело не Земля, а Солнце, поэтому из ,

где R=1,5 10⁸км −радиус земной орбиты, υ − скорость тела относительно Солнца.

Из этого соотношения υ = 42,2 км/с. Скорость υ можно сообщить телу в любом направлении, но очевидно, что выгоднее всего сообщить ее в направлении касательной к земной орбите, так как в этом направлении тело уже имеет относительно Солнца орбитальную скорость Земли u=29,8км/с.

υ₃=υ−u=12,4 км/с (υ₃=υ±u=(17÷73)км/с)

Но чтобы оторваться от Земли, выйти из ее поля тяготения, надо чуть больше чем υ₃, поэтому окончательная третья космическая скорость ровна

υ₃=16,7 км/с.

Задача. Определить линейную скорость Земли u.

Из равенства нормальной силы F_н и силы гравитации F_тяг между Солнцем и Землей, используя второй закон Ньютона:

F_н =ma_н= =F_тяг= →

Четвертая космическая скорость, при которой земное тело преодолевает тяготение Галактики и может уйти во Вселенную. Расчет для υ₄ сложен, но так как вокруг Солнца нет звезд, которые движутся в том же направлении как Солнце вокруг центра Галактики, и имеют больше скорости, чем 285 км/с, то можно предполагать, что это и есть четвертая космическая скорость.

Впервые в мире υ₁ достигнута в СССР 1957г., а υ₂ − в 1959г.