Кинетической теории идеальных газов

(Уравнение Клаузиуса).

Более точный расчет дает такую же формулу.

Из , учитывая, что концентрация молекул n=N/V, получим:

,

где E − суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех молекул.

Т.к. Nm₀=m , то , а для одного моля газа ,

где V_m − молярный объем, а M −молярная масса.

Но из уравнения Клапейрона-Менделеева pV_m=RT, значит

и , т.к. M=m₀N_A , k=R/N_A

Например, при комнатной температуре для молекул кислорода ≈480м/с, а для водорода − ≈1900м/с. [(m₀)_O2=16(m₀)_H2]

Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа .

При T=0,

Т.е. при абсолютном нуле прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно его давление равно нулю. Таким образом,

Термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа.

Приложение 2

Распределение Максвелла

По молекулярно-кинетической теории, как бы ни изменялись скорости молекул при столкновениях, средняя квадратичная скорость молекул массой m₀ в газе, находящемся в состоянии равновесия при T=const, остается постоянной и равной .

Э то объясняется тем, что в газе, находящемся в состоянии равновесия, устанавливается некоторое стационарное, не меняющееся со временем распределение молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон выведен Максвеллом.

Функция распределения молекул по скоростям f(υ) определяет относительное число молекул , скорость которых лежит в интервале υ υ+dυ, т.е. и .

.

зависит от рода газа (m₀) и температуры T. Здесь главное, что . Площадь и есть условия нормировки.

Скорости, характеризующие состояния газа:

1. Наиболее вероятная (максимальная)

.

Из условия определяется

2. Средняя <υ> (средняя арифметическая скорость)

<υ>= 1,13υ_B

3. средняя квадратичная <υ_кв>= 1,22υ_B

При повышении температуры кривая f(υ) растягивается и понижается S₁=S₂/

Среднее число столкновений и

средняя длина свободного пробега молекул. Вакуум

Среднее число столкновений <z> за 1 с; <z>= ,

где n – концентрация молекул,

d – диаметр молекул,

<υ> – средняя скорость молекул.

Средняя длина свободного пробега

.

Вакуумом называется состояние газа, при котором средняя длина свободного пробега <ℓ> сравнима или больше характерного линейного размера r сосуда, в котором газ находится (или размера пространства r ).

Различают:

<ℓ> << r − Низкий вакуум

<ℓ> ≤ r − Средний вакуум

<ℓ> > r − Высокий вакуум (ультраразреженный газ)

<ℓ> >> r − Сверхвысокий вакуум

В лабораториях можно достичь Вакуума.

В космосе нет вакуума, хотя n_косм <<n_лабор , но там линейные размеры r огромные

Приложение 3

Барометрическая формула (распределение Больцмана)

При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов и Максвелловского распределения предполагалось, что внешние силы отсутствуют. Но газы, находясь на Земле, из-за действия гравитационного поля Земли, имеют другое распределение.

Закон изменения давления с высотой (барометрическая формула) выводиться с предположением, что;

• поле тяготения однородно;

• температура атмосферы не меняется с высотой;

• масса всех молекул воздуха одинакова.

Разность давления p и p+dp равна весу газа, заключенного в объеме цилиндра высотой dh с основанием площадью 1м².

p−(p+dp)=ρgdh, ρ=const плотность газа на высоте h.

И з ,

тогда или

→ →

− Барометрическая формула.

Когда h₁=0, h₂=h, p₀=p(0) и p(h)=p₀ .

Прибор для определения высоты над земной поверхностью называется высотометром (или альтиметром).

Используя p=nkT, из барометрической формулы

или .

Т.к. M=m₀N_A, R=kN_A, mgh=W_p − потенциальная энергия молекулы в поле тяготения.

− Распределение Больцмана

Главное – что внешнее поле было потенциальным, а молекулы имели одинаковую массу и двигались хаотично.

Приложение 4

Фазовые переходы I и II рода

Диаграмма состояния. Тройная точка

Фазой называется термодинамически равновесное состояние вещества, отличающееся по физическим свойствам от других возможных равновесных состояний того же вещества.

Часто понятие «фаза» приравняется к «агрегатное состояние», но «фаза» шире чем понятие «агрегатное состояние». Например, лед – твердое агрегатное состояние воды – встречается в пяти различных модификациях – фазах; в закрытом сосуде вода – двухфазная система (жидкая фаза – вода, газообразная фаза – смесь воздуха с водяными парами).

Фазовые переходы – переходы вещества из одной фазы в другую – всегда связаны с качественными изменениями свойств вещества.

Фазовый переход I рода (плавление, кристаллизация и т.д.) – сопровождается поглощением или выделением теплоты (теплота фазового перехода).

При этом температура вещества не изменяется (T=cons), а энтропия и объем меняются.

Фазовый переход II рода не связаны с поглощением или выделением теплоты и изменением объема и энтропии; объем остается постоянным, но температура меняется скачкообразно. Такие переходы связаны с изменением симметрии системы, например при переходе:

• ферромагнетиков в парамагнетики,

• к сверхпроводящему состоянию,

• жидкого гелия I в гелий II.

Если система является однокомпонентной, т.е. состоящей из химически однородного вещества, то понятие фазы и агрегатное состояние идентичны. Для данного вещества количество этих состояния – 3 (твердое, жидкое, газообразное) и определяются значениями температур и давлении.

Для наглядности фазовых превращений используется диаграмма состояния, на которой в координатах p и T задается зависимость между температурой фазового перехода и давления в виде кривых испарения (КИ), плавления (КП) и сублимации (КС), разделяющих поле диаграммы на три области, соответствующих условиям существования твердой (ТТ), жидкой (Ж) и газообразной (Г) фаз. Линия границ этих областей это кривые фазового равновесия, каждая точка на которых, соответствует условиям равновесия двух сосуществующих фаз.

Кривые фазового равновесия

• КП – твердого тела и жидкости

• КИ – жидкости и газа

• КС - твердого тела и газа

Т_тр – тройная точка. Каждое вещество имеет только одну тройную точку (для воды она соответствует температуре ~273,16 ⁰К = 0,01 ⁰С).

При испарении жидкостей (кривая КИ) и сублимации твердых тел (кривая КС) объем вещества всегда возрастает, поэтому при повышении температуры, повышается давление.

П ри плавлении большинства веществ объем, как правило, увеличивается, следовательно, при возрастании давления увеличивается температура (сплошная кривая КП).

Для некоторых же веществ (H₂O, германий − Ge, чугуна и др.) объем жидкой фазы меньше объема твердой фазы, следовательно, для них увеличение давления сопровождается понижением температуры (штриховая кривая КП).

З ная значения p и T, мы сразу можем определить агрегатное состояние вещества и какие фазовые переходы могут происходить при том или ином процессе.

Вещество находится:

• 1 – в твердом состоянии,

• 2 – в газообразном,

• 3 – одновременно в жидком и газообразном состоянии.

Переход 4→5→6 означает изобарное нагревание, которое может привести к плавлению (5) и превращению в газ (6).

Процесс 7→8 означает превращения кристалла в газ минуя жидкую фазу (сублимацию).

Изотермическое сжатие 9→10 приводит к переходу от газа в жидкость и к кристаллическому состоянию.

Кривая КИ заканчивается в критической точке К . поэтому возможен непрерывный переход вещества из жидкого состояния в газообразное и обратно (11↔12) без пересечения КИ, т.е. такой переход, который не сопровождается фазовыми превращениями. Различие между газом и жидкостью – чисто количественно (оба эти состояния, например, являются изотропными). Переход же кристаллического состояния, который характеризуется анизотропией, в жидкое или газообразное, может быть только скачкообразным (в результате фазового перехода), поэтому КП и КС не могут обрываться. КП→∞ , а КС → 0, т.е.в точку, где p =0, T =0.

Приложение 5

Число степеней свободы

Для материальной точки число степеней свободы − это число независимых координат (переменных), полностью определяющих положение точки в пространстве и в нашем трехмерном пространстве равно 3 (x,y,z). Если точка движется по некоторой поверхности, то она обладает двумя степенями свободы, если вдоль некоторой линии, то одной степенью свободы.

Для идеального газа молекулу одноатомного газа рассматривают как материальную точку, которой приписывают 3 степени свободы поступательного движения (для материальных точек энергию вращательного движения можно не учитывать, т.к. при r→0, J=mr²→0, T_вр=Jω²/2→0).

Молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек, связанных недеформируемой связью и у нее 5 степеней свободы, из которых 3 – поступательного движения, 2 – вращательного движения (вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишена смысла из-за r=0).

Трехатомные и многоатомные нелинейные молекулы имеют 6 степеней свободы: 3 – для поступательных и 3 – для вращательных движении.

Для реальных молекул необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения, т.к. жесткой связи между атомами не существует.

Независимо от общего числа степеней свободы молекул, 3 степеней свободы всегда поступательные, и на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия , т.к. .

Закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул:

Для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамической равновесии, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем kT/2 кинетическая энергия, а на каждую колебательную степень свободы – в среднем kT энергия.

Для колебательной степени свободы эта энергия 2 раза больше, потому что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движения), но и потенциальная энергия. Причем, средние значения кинетической и потенциальной энергия одинаковы.

Таким образом, средняя энергия молекулы

где i – сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекулы. Для реальных молекул

i =i_пост+i_вращ+2i_колеб

Для классической теории, где рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами без колебательного движения: для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы i=i_пост+i_вращ .

Т.к. в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют) то внутренняя энергия для моля газа будет равна сумме кинетических энергий N_A молекул.

Внутренняя энергия для произвольной массы m газа

,

где M – молярная масса, n − количество вещества

Внутренняя энергия U любой массы m газа пропорциональна числу степеней i свободы его молекулы, его абсолютной температуре T и массе m.

Эта энергия весьма значительна, но ее извлечь практически невозможно. Реализовать можно лишь ничтожно малую долю этой энергии (в процессе теплообмена с холодильником). Например, U для m=1кг кислорода при T=27⁰C, т.к. для O₂ i=5, M=32кг/кмоль, дж.

Приложение 6

Объяснение понятия энтропии на частном примере цикла Карно

Из формулы (4) следует, что →

Учитывая, что Q₂ как количество теплоты, отдаваемое рабочим веществом холодильнику, является отрицательным, последнее уравнение можно написать , где уже учтено знаки теплоты. Отношение теплоты, переданной рабочему веществу (или рабочим веществом), к термодинамической температуре, при которой происходила эта передача, называется приведенной теплотой.

Д ля цикла Карно алгебраическая сумма приведенных теплот равна нулю.

Можно показать, что это утверждение справедливо для любого обратимого кругового процесса А→а→В→в→А. Если разбивать этот процесс на большое число n очень узких (элементарных) циклов Карно с помощью изотерм и адиабат, то для каждого из элементарных циклов Карно будет справедлива формула:

ΔQ_1i/T_1i+ΔQ_2i/T_2i=0,

ΔQ_1i − теплота, полученная рабочим телом на i -м участке расширения при температуре Т_1i; ΔQ_2i− теплота, отданная им на i -м участке сжатия при температуре Т_2i. Суммируя все эти равенства, получим

Когда n →∞, ∑→∫:

или .

Из равенства нулю этого интеграла, взятого по замкнутому контуру AaBbA, следует, что подынтегральное выражение dQ/T представляет собой полный дифференциал некоторой функции S, зависящей только от состояния системы и не зависящей от пути, каким система пришла в это состояние:

dQ/T=dS

Функция S − энтропия (Р.Ю.Клаузиус, 1865г.), наряду с энергией, является важной характеристикой состояния системы.

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ

(ЭЛЕКТРОДИНАМИКА)

Электродинамика – раздел классической физики, изучающий электромагнитные поля и их взаимодействия. Она сохраняет важное место в современной физике, благодаря своей практичности и завершенности.

Электромагнитным взаимодействием называется взаимодействие между электрически заряженными частицами или макроскопическими заряженными телами. Они осуществляются посредством электромагнитного поля, которое является особой формой материи.

Электромагнитное поле делится на электрическое поле и магнитное поле. В каждой инерциальной системе отсчета электромагнитное взаимодействие можно разделить на электрическое и магнитное.

Электрическое поле (Э.П.) – особый вид материи, посредством которого взаимодействуют электрическое заряды. Э.П. – одна из частей электромагнитного поля, которое создается эл. зарядами и заряженными телами (независимо движутся они или нет). Эти поля могут быть стационарными (не изменяющимися во времени) или нестационарными (переменными), если их характеристики меняются с течением времени.

Если заряженные частицы или тела неподвижны, то их взаимодействие осуществляется посредством электростатического поля.

Так же магнитное поле (М.П.) (одна из составной частей электромагнитного поля) – особый вид материи, посредством которого осуществляется магнитное взаимодействие. М.П. создается проводниками с током, движущимися электрически заряженными частицами и телами, а также намагниченными телами и переменным электрическим полем. Они так же бывают стационарные и нестационарные (переменные).

Гл.1 ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Электростатика – изучает взаимодействие и условия равновесия покоящихся электрически заряженных тел, а также свойства этих тел, обусловленные электрическими зарядами.

Электрические и магнитные взаимодействия человечеству известны давно, хотя сам термин электризация появился гораздо позже.

Еще в VII в. до н.э. древнегреческий ученый Фалес Милетский изучал электрические свойства янтаря, натертого мехом. Оказалось, некоторые предметы и вещества (янтарь, стекло, фарфор) натертые шелком (кожей, мехом, сукном) приобретают новые свойства, а именно, начинают притягивать к себе легкие предметы, например, мелкие куски бумаги.

Минерал магнетит описывался в трудах древнегреческих ученых ~ 800 л. до н.э..(Термин «магнит», то ли от названия греческого города Магнит, близ которого находились магнитные руды, то ли от имени греческого пастуха, который впервые нашел природный магнит).

Слово электризация (от греч. «электрон» – янтарь) предложил в XVI веке английский врач и физик Уильям Гилберт (1600). Янтарь (стекло, фосфор, эбонит) натертое шелком (кожей, мехом, сукном) электризуются.

Несмотря на огромное разнообразие вещества, электризация бывает только двух типов, названными Б. Франклином (1750г.) положительными и отрицательными.

Стекло (+) натертое кожей (–)

Эбонит (+) натертое мехом (–).

Многочисленными, парой трагическими (вспомним смерть помощника Ломоносова – Рихмана (1753г.) от удара шаровой молнии), опытами установлено, что разноименно наэлектризованные тела взаимно притягивают, а одноименно наэлектризованные тела - отталкивают.

До 1881 года эти явления объяснили особыми электрическими (+ и –) жидкостями перемещающихся внутри тела или перестекающихся из одного тела в другое, пока немецкий физик и физиолог Гельмгольц предложил гипотезу об электрически заряженных элементарных частицах, которая подтверждалась в 1897 г. открытием электрона (англ. физик Дж. Томсон) и в 1919 г. открытием протона (англ. физик Резерфорд).

Заряд – мера (особого) взаимодействия элементарных частиц. Элементарный электрический заряд – свойства электрона или протона, характеризующее их взаимосвязь с собственным электрическим полем и их взаимодействие с внешним электрическим полем.

Заряд электрона = – заряд протона.

e=-1,60091^.10^-19 Кулон, m_e=9,1082^.10^-31кг, m_p=1836^.m_e

Единица заряда Кулон (Кл) устанавливается из определения силы тока или q=I^.t.

1 Кл равен электрическому заряду, проходящему за 1 сек через поперечное сечение проводника с током 1А (Ампер – основная единица в системе СИ и 1 Кл=1А^.1с). Все заряженные элементарные частицы имеют одинаковый по величине заряд, равный е (элементарный (наименьший?) электрический заряд). е «атом электричества»¹².

1964г. американские ученые Гелл-Манн и Цвейг предложили гипотезу о существовании более мелких элементарных частиц (кварков) с дробными зарядами, из которых состоят некоторые другие элементарные частицы.

Заряды кварков могут быть , но т.к. пока что не удается наблюдать кварки в свободном состоянии (отдельно), поэтому элементарным зарядом в данное время считается заряд электрона.

Аналогично определили барионный (составленные из кварков) заряд и лептонный (электронный, мюонный или таулептонный) заряд, для которых справедливы законы сохранения этих зарядов. Но эти заряды существенно отличаются от электрических зарядов, поскольку они не являются источником дальнодействующего поля (как электрические или гравитационные), поэтому более точно их назвать не зарядами, а сохраняющимися квантовыми числами.

Закон сохранения электрического заряда. Фарадей (1843)

В изолированной системе алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной.

Или в изолированной системе тел полный заряд сохраняется постоянным, независимо от того, какие процессы происходят в этой системе.

или

П о своими электрическими свойствами (в зависимости от концентрации свободных зарядов) тела делятся на проводники, диэлектрики и полупроводники

Проводники – тела, в которых электрические заряды могут свободно перемещаться. Они бывают 2 типов – металлы (проводники I рода) и электролиты (проводники II рода). В металлах роль зарядов играют свободные электроны, перемещение которых не вызывает химических изменений. В Электролитах (в растворах солей, кислот и щелочей) роль электрических зарядов играют + и – ионы, перемещение, которых ведет к химическим изменениям.

Диэлектрики (изоляторы) – перемещение зарядов весьма ограничено (мало свободных электронов или почти нет ионов). К ним относятся янтарь, стекло, спирт, дистиллированная вода.

Полупроводники (селен, германий, кремний, графит и др.) занимают промежуточное положение между проводниками и диэлектриками и их электропроводимость в значительной мере зависит от внешних условий, главным образом от температуры.

Закон КУЛОНА (1785г.)

Под точечным зарядом понимают такие заряженные тела или частицы, размеры которых малы по сравнению с расстояниями до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Кулон ввел понятие количества электричества (заряда) и при помощи крутильных весов определил, что сила взаимодействия F между двумя неподвижными зарядами, находящимися в вакууме, пропорциональна зарядам q₁ и q₂ , обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и направлена по линий, соединяющей эти заряды.

, сам Кулон определил, что индекс у r

имеет значение .

(Сейчас это доказано с точностью 10^-12)

Целесообразно (рационально) взять ,

где - электрическая постоянная или электрическая или диэлектрическая проницаемость вакуума (устаревшее название). Множитель 4π здесь и в законе Ампера оправдан тем, что во многих практических формулах электричества (в том числе и в электротехнике и радиотехнике) потом вошел бы такой множитель, который усложнял бы часто употребляемые вычисления. И еще, 4π в законе Кулона как бы отражает факт сферической симметрии электрического поля одиночного заряда. Такие формулы (где ) называются рационализованными, на котором построена Международная система единиц измерения СИ. В СИ не можем принять k=1, т.к. единицы измерения всех физических величин в законе Кулона уже установлены ранее. Поэтому k, а следовательно определяется опытным путем:

, потом фарад на метр,

где , фарад – единица измерения электроемкости.

В системе СГС единица заряда устанавливается по формуле Кулона, поэтому там k=1 и закон Кулона имеет вид .

Закон Кулона для диэлектрической среды имеет вид:

, где ε – диэлектрическая проницаемость среды, которая показывает во сколько раз сила Кулона F в данной среде меньше, чем в вакууме (для твердых диэлектриков она неприменима). Для вакуума ε=1

Для любого тела ε>1, то есть всегда сила, с которой заряды взаимодействуют, в диэлектрике меньше чем в вакууме.

для газов ε

для жидкостей ε от 1,05(Гелий t=−269⁰),до 43 (Глицерин) и 88 (Вода t=0⁰)

для твердых тел ε ~2 (Парафин) до 1000−10000 (спец. керамика).

Закон Кулона справедлив и для шаров, на поверхности которых заряд распределен равномерно. Тогда r – это расстояние между центрами шаров.

Для остальных (пространственных) тел значение F находят интегрированием.

Так как силы Кулона направлены вдоль прямой, соединяющей заряды, (центральные силы), поэтому в окончательном, векторном виде закон Кулона пишется:

Иногда (редко) в некоторых книгах пишется со знаком (-) для того, чтобы обозначать, что силы притяжения положительные, а силы отталкивания отрицательные.

Между движущимися зарядами существует также магнитное взаимодействие, которое тем более значительно, чем больше скорость движения зарядов.

В отличия от массы, модуль заряда не зависит от скорости его движения.

В атомах магнитные и гравитационные взаимодействия существенной роли не играют. Например отношение кулоновских сил к гравитационных ~10⁴² (для водорода ~2,3^.10³⁹ «дуодециллион» ).

10⁴² – тредециллион (СССР, США, Франция, Канада…) или

септиллион (Англия, Испания, Германия…)