31. В чем состоит необх и дост признаки точки перегиба графика функции. Приведите пример.

Определение: Точкой перегиба непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема 1. (необходимое условие перегиба). Вторая производная f(x) дважды дифференцируемой функции в точке перегиба х₀ равна 0, т.е. f(x) = 0

Теорема 2.(достаточное условие перегиба). Если вторая производная f(x) дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку х₀, меняет свой знак , то х₀ есть точка перегиба её графика.

Пример: Найдём точки перегиба графика функции y = (x)³

1. y = 3x²

2. y = 6x

6x=0, y = 0 , x₀ =0 есть точкa перегиба гр ф-и. При переходе через данную точку ф-я действительно меняет свой знак (что видно из гр данной ф-и).

32. Дайте опр-я ф-и двух переем-ых, предела и непрерывности ф-и двух переем-х.

Если каждой точке М (х, у) из некоторого множества U  (x O y) (или, что тоже самое множества U  R²) ставится в соответствие единственное число Z  R, то говорят, что на множестве задана функция и пишут z = f (M ) или z = f ( x, y ). Здесь х, у – координаты точки М, называются независимыми переменными или аргументами, величина z называется зависимой переменной, f означает закон соответствия или функцию, U – область определения функции, Z – область значений функции, т.е. D (f ) = U и E ( f ) = Z. Пример.

Число A наз-ся пределом ф-и z = f (x, y ) в точке М, если для люб сход-ся к М посл-ти точек { M_n} из U  D (f ) соответствующая посл-ть значений ф-и z_n = f (x_n, y_n) сходится к числу А.

В этом случае пишут

Пример

Функция z = f (x, y ), определенная на множестве U = D (f ), называется непрерывной в точке М (a, b), если

1. она определена в этой точке;

2.

Пример в точке М (1, 0)

33. Дайте определения частных производных ф-и двух переменных, дифференци­руемости ф-и нескольких переем-х и ее дифференциала. Приведите примеры вычисления производных и диф-ла ф-и двух пременных.

Зададим приращение х переменно х функции z = f(x,y) и вычислим приращение последней, а именно _xz = f (x + х,y) – f(x,y). Если существует конечный предел lim _{Dх 0} _xz/Dх = lim _{Dх 0} f(x + х,y) – f(x,y))/Dх, то он называется частной производной функции z = f(x,y) по аргументу х. Аналогично для приращения аргумента у, приращение функции имеет вид: _уz = f(х,y + y) – f(x,y). Если существует конечный предел lim _{Dу 0} _уz/Dу = lim _{Dу 0} (f(х,y + y) – f(x,y))/Dу, то он называется частной производной функции z = f(x,y) по аргументу у. Правило: каждая частная производная вычисляется как производная от функции одного аргумента, т.е. {dz/dx=f′x(x,y), y=const; dz/dy=fy(x,y), x=const.

Пр. Най z′_x и z′_y, ес z=5x³y²-x. 1) z′_x =5*(3x²) y² – 1 = 15x²y² – 1. 2) z′_у =5*(2у) х³ – 0 = 10x³y.

Если смешанные частные производные и – непрерывные ф-и в нек области U, то в этой области они совпадают, т.е. .

Функция называется дифференцируемой в точке , если в некоторой окрестности этой точки полное приращение этой функции можно представить в виде

, (1)

где А и В – некоторые константы, а и ─ бесконечно малые функции при и . Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости).

Если ф-я дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке. Теорема 2 (необходимое условие дифференцируемости).

Если функция дифференцируема в точке , то в этой точке существуют частные производные, причём

Част диф-ом ф-и z=f(x;y) по аргументу х (соот-но у) наз-ся диф-ал ф-и одного аргумента z=f(x;y₀) (z=f(x₀;y) соответственно). Приняты обозначения: d_xz; d_xf(x;y), d_уz; d_уf(x;y)

В силу опр-я d_xz = z′_xdx; d_yz = z′_ydy или d_xz = z′_xx; d_yz = z′_yy (т.к. dx=x, dy=y). Частная производная z′_x ф-и z=f(x;y) равна z′_x = d_xz/ dx; частная производная z′_y = d_уz/dу = d_уz/Dу.

Полным дифференциалом функции z=f(x;y) называют сумму ее частных дифференциалов, т.е. dz = d_xz+d_yz = z′_xdx + z′_ydy.

Функция называется дифференцируемой, если она имеет полный дифференциал, т.е. существуют частные производные z′_x и z′_у. Имеет место равенство – полное приращение функции: z = f(x₀+x; y₀+y) – f(x₀,y₀). Как в случае с частными приращениями имеет место равенство: f (x₀,y₀) ≈ df(x₀,y₀) или подробнее f(x₀+x; y₀+y) ≈ f(x₀,y₀)+ f′_x(x₀;y₀)*x+f′_y(x₀;y₀)*y

Первый дифференциал f _x’(M)dx+f _y’(M)dy

z=5x³y²-x

Пример: (0,98)^2,01 1)зададим функцию z=x^y 2)x0=1,y0=2,∆x=-0,02,∆y=0,01 3)найдем частные производные z ‘_x=yx ^y-1,z’ _y=x ^y lnx 4)f(o,98;2,01)=f(1,2)+f _x(1,2)(-0,02)+f _y(1,2)(0,01)=0,96