6. Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.

Правила: Пусть lim x_n = а и lim у_n = b. Тогда:

1. lim(x_n+у_n) = а + b (словами: "предел суммы равен сумме пределов");

2. lim(x_n*у_n) = а·b (словами: "предел произведения равен произведению пределов");

3. lim1/ у_n = 1/b если все числа у_n,а также и сам предел b отличны от нуля;

4. lim x_n/ у_n=a/b если все у_n,а также b не равны нулю.

Примеры: 1) lim _n→∞ ((1/n)*e^1/n)= lim _n→∞ (1/n) * lim _n→∞ (e^1/n)=0*1=0

2) lim _n→∞ ((1/n)+e^1/n)= lim _n→∞ (1/n) + lim _n→∞ (e^1/n)=0+1=1

3) lim _n→∞ (1/n²)= [1/∞]=0 (так как lim _n→∞ (n²)= ∞).

4) lim_n→∞ ((n²-8)/(3n²+5n-4))= lim_n→∞ ((1-8/n²)/(3+5/n-4n²))=1/3

Опр.: e — математическая константа, основание натурального логарифма, иррациональное и трансцендентное число. Число e называют числом Эйлера. Приближенно . Число е определяется по-разному, один из способов: - второй замечательный предел.

Пример:

7. Дайте определение предела функции. Перечислите основные свойства пределов функций.

Предел ф-и — одно из основных понятий мат-го анализа. Ф-я f(x) имеет предел L в точке x₀, если для всех значений x, достаточно близких к x₀, зн-е f(x) близко к L. Предел – единственен!

Предел функции на бесконечности описывает поведение значения данной функции, когда её аргумент становится бесконечно большим (по абсолютной величине).

Обозначение предела функции

Предел функции обозначается как

или через символ предела функции:

Пример: lim _х→а (х+1)=а+1

Свойства пределов функции

1) Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

2) Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности двух функций равен разности пределов этих функций.

Расширенное свойство предела суммы:

Предел суммы нескольких функций равен сумме пределов этих функций:

Аналогично предел разности нескольких функций равен разности пределов этих функций.

3) Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

4) Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций:

Расширенное свойство предела произведения

Предел произведения нескольких функций равен произведению пределов этих функций:

5) Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Примеры: 1) lim _х→1 ((1/х)*e^1/х)= lim _х→∞ (1/х) * lim _х→∞ (e^1/х)=1*е=е

2) lim _х→1 ((1/х)+e^1/х)= lim _х→1 (1/х) + lim _х→1 (e^1/х)= 1+е

3) lim _х→1 (2e^1/х)= 2lim _х→1 (e^1/х)=2е

4) lim _х→1 23=23

5) lim _х→1 (2+1/х)/(e^1/х)= lim _х→1 (2+1/х)/ lim _х→1 (e^1/х)=3/е

8. Дайте определения односторонних пределов функции.

Число а называется пределом функции f(x) в точке х₀ справа, если для любой сходящейся к х₀ последовательности {х_n}, в которой все х_n>х₀, соответствующая последовательность {f(х_n)} сходится к а. Это записывают так: Lim_{x→ х0-0} f(x)=a.

Аналогично определяют предел функции f(x) в точке х₀ cлева:Lim_{x→ х0+0} f(x)=a

Пределами функции справа и слева называется Односторонними пределами.

Пример: Пусть и

Тогда

Поск одностор пределы ф-и f(x) в т 3 различны, то предела данной ф-и в 3 не существует.