43. Дайте определение и приведите пример первообразной. Сформулируйте теорему о существовании первообразной для непрерывной функции.

1.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке ХR, если для любого функция y=F(x) дифференцируема и выполняется равенство

Пример: Непрерывная ф-ция F(x)=sinx - первообразная функции y=cosx на x=(-;+), F’(x)=(sinx)'=cosx

2. Теорема. Если y=f(x) непрерывна на xR, то у нее на х существует первообразная F(x).

Если F(x) первообр ф-и f(x) на xR, то G(x)=F(x)+C(общий вид первообр на х ф-и f(x)

Пример: см. выше

44. Дайте определение определенного интеграла и приведите формулу Ньютона-Лейбница. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла, иллюстрируя их примерами.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками ( ) такими, что . Длины полученных отрезков обозначим ( ), и пусть – наибольшая из этих длин. Выберем на каждом из отрезков разбиения произвольную точку и составим сумму

, которую назовем интегральной суммой для функции .

Рассмотрим интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка при различных значениях . Если существует предел таких сумм при , то он называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается ,

2. Формула Ньютона – Лейбница: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – первообразная для f(x). Тогда

Пример.

3. Основные св-ва определенного интеграла:

1.

Пример.

2. , где k – постоянная.Пример. =1

3. =0;

4. Пример.

5.если f(x)g(x) на отрезке [a,b], то

6.если на отрезке [a,b] выполняется mf(x)M,то

m(b-a) (оценка интеграла)

пример.

M=3/5,m=1/2 на [0;2] c помощью производной

½(2-0) 3/5(2-0)

7.теорема о среднем

Для непрерывной на отрезке[a,b] функции y=f(x) найдется точка с[a,b]

45. Напишите формулы вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Приведите в обоснование чертежи к каждой из формул и приведите примеры.

Вычисление площадей плоских фигур.

Изв-но, что опред-ый инт на отрезке предст-ет собой площадь криволин трапеции, огран-ой гр-ом ф-и f(x). Если гр расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0 (случай 2), то площадь имеет знак “-“, если гр расп выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+” (случай 1).

Для нахождения суммарной площади используется формула .В 3 случае имеем область, принадлежащую обеим криволинейным трапециям (как для верхней, так и для нижней функции). В данном случае площадь заштрихованной области – разница площадей трапеций верхнего и нижнего графиков функций.

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

И скомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Объем тел вращения. Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что ф-я f(x) непр-на на отре [a, b]. Если соотвую ей кривол трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так наз-ое тело вращения.

Т .к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

При вращении вокруг оси Оу рассуждения аналогичны, только Примечание: Рисунок тот же только вместо х написать у.

Пример: Вычислить объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми