9. Перечислите основные правила вычисления пределов функций.

Пусть существуют пределы Lim_x→х0 f(x)=a и Lim_x→х0 g(x)=b.

Тогда: 1. Lim_x→х0 (f(x)+g(x))=a+b Lim

2. Lim_x→х0 (f(x)*g(x))=a*b

3. Lim_x→х0 1/g(x)=1/b, если g(x)≠0 в окрестности х_0, а также b≠0

4. Lim_x→х0 f(x)/g(x)=a/b, если g(x)≠0 в окрестности х_0, а также b≠0

Примеры: 1) lim _х→1 ((1/х)*e^1/х)= lim _х→∞ (1/х) * lim _х→∞ (e^1/х)=1*е=е

2) lim _х→1 ((1/х)+e^1/х)= lim _х→1 (1/х) + lim _х→1 (e^1/х)= 1+е

3) lim _х→1 (2e^1/х)= 2lim _х→1 (e^1/х)=2е

4) lim _х→1 (1/х)/(e^1/х)= lim _х→1 (1/х)/ lim _х→1 (e^1/х)=1/е

10. Приведите первый (с доказательством) и второй замечательные пределы.

Первый замечательный предел.

Доказательство (правило Лопиталя):

- второй замечательный предел.

Пример:

Где 2,71828…-иррациональное число, называемое число Эйлера.

11. Дайте опр непрерывности ф-и в точке. Сформ-те условия непрерывности сложной ф-и. Что вы можете сказать о непрер-ти основных элем ф-й?

Функция f(х) называется непрерывной в Х₀, если предел ф-ии в точке Х₀ существует и имеет конечный предел функции при х→Х₀, равный значению функкции в точке Х₀, т.е. lim_x→x0f(х)=f(Х₀)

Условие:Если функция u=g(x) непрерывна в точке х₀ и функция y=f(u) непрерывна в точке u₀=g(x₀), то сложная функция y=f(g(x)) непрерывна в точке х₀.

Пример:Пусть y=f(x)=1/x и x=x₀. В этой точке ф-ия не является непрерывной, т.к. нарушено 1-ое условие, тем зн-я f(0). При этом нарушено и 2-ое условие

lim_x→0-01/x=-∞ и lim_x→0+01/x=+∞

б) y = х + 1 при х ≥0, х-1 при х<0 В точке х=0 ф-я y=f/(х) не явл-ся непр-ой - первое условие непр-ти выполнено, f(0) сущ-ет (f(0)=1), но нарушено второе усл – отсут-ет 1im_x→0f(x)

в)y = {x² при х≠0, 1 при х=0 В точке =0 функция y=f(х) не является непрерывной - первые два условия непрерывности выполнены – существуют f(0) (f(0)=1) и конечный предел 1im_x→0f(x)=0, но нарушено третье основное условие: 1im_x→0f(x) ≠ f(0)

г) у= х² В точке х=0 функция y=f/(х) непрерывна, так как выполнены все три условия непрерывности - 1im_x→0f(x) = f(0) = 0

Непрерывность некоторых элементарных функций.

1) Функция f(x) = C, C = const – непрерывная функция на всей области определения. 2) Рациональная функция непрерывна для всех значений х, кроме тех, при кот знаменатель обращается в ноль. Т о, ф-я этого вида непр-на на всей обл опр-я.

3) Тригонометрические функции непрерывны на своей области определения.

Вообще следует заметить, что все основные элем ф-и непр-ны на всей своей обл опр-я.

12. Дайте определение точки разрыва функций и приведите классификацию точек разрыва. Установите характер разрыва функции в точке = 0.

Точка x₀ называется точкой разрыва функции f(x), если она определена в некоторой проколотой окрестности точки x₀ (то есть определена на некотором интервале, для которого x₀ служит внутренней точкой, но в самой точке x₀ не определена) и выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) не существует предела слева lim f(x) при x-> x₀-0;

2) не существует предела справа lim f(x) при x-> x₀+0;

3) пределы слева и справа существуют, но не равны друг другу:

lim f(x) (при x-> x₀-0)  lim f(x) (при x-> x₀+0);

4) пределы слева существуют и равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке или функция f(x) не определена в точке x₀

Если имеет место случай 3 либо случай 4, то точка разрыва x₀ называется точкой разрыва первого рода; в случае 4 точка разрыва первого рода называется устранимой.

Если же имеет место случай 1 либо случай 2 (либо и тот и другой сразу), то точка разрыва x₀ называется точкой разрыва второго рода.

Пример: D(f) = (-; 0)(0; +)

В данном случае получим, что , а , т.е. имеем разрыв 2-го рода.