terve_teoria

№1

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

. (3.2.1)

Докажем теорему сложения вероятностей для схемы случаев. Пусть возможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев

Предположим, что из этих случаев благоприятны событию , а – событию . Тогда

Так как события и несовместимы, то нет таких случаев, которые благоприятны и , и вместе. Следовательно, событию благоприятны случаев и

Подставляя полученные выражения в формулу (3.2.1), получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий. Обозначая событие буквой , и присоединяя к сумме еще одно событие , легко доказать, что

Очевидно, методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Действительно, предположим, что она справедлива для n событий:

и докажем, что она будет справедлива для событий:

Обозначим:

Имеем:.

Но так как для n событий мы считаем теорему уже доказанной, то

,

откуда что и требовалось доказать.

№2

Пусть вероятность события В не зависит от появления события А.

Событие В называют независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности события В, т. е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности:

РA (В) = Р (В). (*)

Подставив (*) в соотношение (***) предыдущего параграфа, получим

Р (A) Р (В) = Р (В) РB (A).

Отсюда

РB (A) = Р (A),

т. е. условная вероятность события A в предположении что наступило событие В, равна его безусловной вероятности. Другими словами, событие A не зависит от события В.

Итак, если событие В не зависит от события A, то событие A не зависит от события В; это означает, что с в о й с т в о н е з а в и с и м о с т и с о б ы т и й

в з а и м н о.

Для независимых событий теорема умножения Р (АВ) = Р (А) РA (В) имеет вид

Р (АВ) = Р (А) Р (В), (**)

т. е. вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

№3

Если события H1, H2, …, Hn попарно несовместны и при каждом испытании обязательно наступает хотя бы одно из этих событий, то для любого события А справедливо равенство:

P(A)= PH1(A)P(H1)+ PH2(A)P(H2)+…+ PHn(A)P(Hn) – формула полной вероятности. При этом H1, H2, …, Hn называют гипотезами.

Доказательство: Событие А распадается на варианты: AH1, AH2, …, AHn. (А

наступает вместе с H1 и т.д.) Иначе говоря, имеем А= AH1+ AH2+…+ AHn. Так как H1, H2, …, Hn попарно несовместны, то несовместны и события AH1, AH2, …, AHn. Применяя правило сложения, находим: P(А)= P(AH1)+ P(AH2)+…+ P(AHn). Заменив каждое слагаемое P(AHi) правой части произведением PHi(A)P(Hi), получаем требуемое равенство.

Пример:

Допустим, у нас есть два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго – 0,9. Найдем вероятность того, что взятая наудачу деталь – стандартная.

Р(А) = 0,5*0,8 + 0,5*0,9 = 0,85.

№4

(формула Байеса(1)). Пусть — полная группа событий, и — некоторое событие, вероятность которого положительна. Тогда условная вероятность того, что

имело место событие , если в результате эксперимента наблюдалось событие , может быть вычислена по формуле:

Д о к а з а т е л ь с т в о . По определению условной вероятности,

№5

Схема Бернулли: производится n независимых испытаний, в каждом из которых с одной и той же вероятностью p наступает некоторое событие А (называемое обычно «успехом») и, следовательно, с вероятностью q=1-p наступает событие A , противоположное А.

Пусть k – любое из чисел 0,1,2,…,n. Обозначим Pn (k ) вероятность того, что в n испытаниях Бернулли успехов наступит k раз.

Справедлива формула Бернулли:

pn (k ) Cnk p k q n k .

Пример: Монета бросается 10 раз. Какова вероятность того, что герб выпадает при этом ровно 3 раза?

Решение: В данном случае успехом считается выпадение герба, вероятность p этого события в каждом опыте равна ½ , так что q=1- p=1|2. Отсюда

№6

Исследуем случай, когда производится n одинаковых и независимых опытов, каждый из которых имеет только 2 исхода {A; A }. Т.е. некоторый опыт повторяется n раз, причем в каждом опыте некоторое событие А может появиться с вероятностью P(A)=q или не появиться с вероятностью P( A )=q-1=p .

Пространство элементарных событий каждой серии испытаний содержит 2n точек или последовательностей из символов А и A . Такое вероятностное пространство и носит название схема Бернулли. Задача же заключается в том, чтобы для данного k найти вероятность того, что при n-кратном повторении опыта событие А наступит k раз.

Для большей наглядности условимся каждое наступление события А рассматривать как успех, ненаступление А – как неуспех. Наша цель – найти вероятность того, что из n опытов ровно k окажутся успешными; обозначим это событие временно через B.

Событие В представляется в виде суммы ряда событий – вариантов события В. Чтобы фиксировать определенный вариант, нужно указать номера тех опытов, которые оканчиваются успехом. Например, один из возможных вариантов есть

№7

Пусть и так, что . Тогда для любого вероятность получить успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха стремится к величине :

Д о к а з а т е л ь с т в о . Положим . Тогда и

(8)

№8

В условиях схемы Бернулли с заданными значениями n и p для данного >0 оценим

эквивалентно |k-np| n, т.е. - n k-np n или np- n k np+ n. Таким образом, речь идѐт о получении оценки для вероятности события k1 k k2, где k1 = np- n, k2 = np+ n.

Примечание: т.к. по условию n=1, то подставляем вместо n единицу и получаем окончательный ответ.

№9

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться событие А с вероятностью р, так что вероятность противоположного события Ā равна q=1-p. Рассмотрим сл. величину Х – число появления события А в n опытах. Представим Х в виде суммы индикаторов события А для каждого испытания: Х=Х1+Х2+…+Хn. Теперь докажем, что М(Хi)=р, D(Хi)=np. Для этого рассмотрим закон распределения сл. величины, который имеет вид:

Очевидно, что М(Х)=р, случайная величина Х2 имеет тот же закон распределения, поэтому D(Х)=М(Х2)-М2(Х)=р-р2=р(1-р)=рq. Таким образом, М(Хi)=р, D(Хi)=pq. По теореме сложения математических ожиданий М(Х)=М(Х1)+..+М(Хn)=nр. Поскольку

случайные величины Хi независимы, то дисперсии тоже складываются:

D(Х)=D(Х1)+…+D(Хn)=npq=np(1-р).