Teoria_veroyatnostey_15-19

15. Дисперсия ДСВ и ее св-ва (с выводом). Примеры.

Дисперсией D(Х) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания: или, где

Доказательство. С учетом того, что мат ожид М(Х) и квадрат мат-гоожид М2(Х) – величины постоянные, можно записать: 

В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания , ибо согласно свойству 6 математического ожидания эта величина равна нулю для любой случайной величины.

Выбор дисперсии, определяемой по формуле, в качестве характеристики рассеяния значений случайной величины Х оправдывается также тем, что, как можно показать, математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от постоянной величины С минимально именно тогда, когда эта постоянная С равна математическому ожиданию , т.е. .

Если случайная величина Х - дискретная с конечным числом значений, то (3.11).

Если случайная величина Х - дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то (если ряд в правой части равенства сходится).

Дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину .

Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

Свойства дисперсии случайной величины.

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:.

□ . ■

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: .

□ Учитывая свойство 2 математического ожидания, получим . ■

3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: (3.16) или где .

□ Пусть М(Х) = а. Тогда D(Х) = М(Х - а)² = М(Х² - 2аХ + а²). Учитывая, что а - величина постоянная, неслучайная, найдем

D(Х) = М(Х)² - 2аМ(Х) + а² = М(Х²) - 2а·а + а² = M(X²) - a².

Это свойство часто используют при вычислении дисперсии. Вычисление по формуле (3.16) дает, например, упрощение расчетов по сравнению с основной формулой (3.11), если значения xi случайной величины - целые, а математическое ожидание, а значит, и разности (xi - а) - нецелые числа.

4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .

□ По свойству 3: . Обозначая , и учитывая, что для независимых случайных величин М(ХУ)=М(Х)М(У), получим

.■

Обращаем внимание на то, что дисперсия как суммы, так и разности независимых случайных величин Х и У равна сумме их дисперсий, т.е. .

3амечание. Обратим внимание на интерпретацию математического ожидания и дисперсии в финансовом анализе. Пусть, например, известно распределение доходности Х некоторого актива (например, акции), т.е. известны значения доходности xi и соответствующие их вероятности pi за рассматриваемый промежуток времени. Тогда, очевидно, математическое ожидание М(Х) выражает среднюю (прогнозную) доходность актива, а дисперсия D(X) или среднее квадратическое отклонение - меру отклонения, колеблемости доходности от ожидаемого среднего значения, т.е. риск данного актива.

Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и другие числа, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.

Обращаем внимание на то, что сама величина Х - случайная, а ее числовые характеристики являются величинами неслучайными, постоянными.

16. Мат. ожидание и дисперсия числа и частости наступлений события в повторных независимых испытаниях (с выводом).

Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равно р, т.е. а ее дисперсия .

□ Частость события есть , т.е. , где Х - случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Поэтому

. ■

Теорема. Сл\в Х=m, распределённую по биномиальному закону, можно интерпретировать как число m объектов, обладающих данным св-м, из общего числа n объектов, случайно извлечённых из некоторой воображаемой бесконечной совокупности, доля p объектов которой обладает этим св-м. Поэтому рапределение можно расм-ть как модификацию биномиального распр-я для случая конечной совокупности, состоящей из N объектов, М из кот обладают этим св-м.

17. СВ, распределенная по биномиальному закону. Ее мат. ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.

Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами npq, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,... ,n с вероятностями

,

где 0<р<l, q=1-p.

Как видим, вероятности Р(Х=m) находятся по формуле Бернулли, следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.

Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

Очевидно, что определение биномиального закона корректно, т.к. основное свойство ряда распределения выполнено, ибо есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:

Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону,

а ее дисперсия

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром λ > 0, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m, ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями

,

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма ряда .

На рис. 4.1 показан многоугольник (полигон) распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона Р(Х=m)=Р_m(λ) с параметрами λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.

Теорема. Математическое oжидaниe и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е.

и

18. Функция распределения СВ, ее определение, свойства и график.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: .

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее за данной точки х.

Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.

Общие свойства функции распределения.

1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: .

Утверждение следует из того, что функция распределения – это вероятность.

2. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция на всей числовой оси.

Пусть и - точки числовой оси, причем >. Покажем, что . Рассмотрим 2 несовместных события , . Тогда .

Это соотношение между событиями легко усматривается из их геометрической интерпретации (рис.3.6). По теореме сложения:

или откуда .

Так как вероятность, то , т.е. - неубывающая функция. ☻

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна единице, т.е.

.

как вероятность невозможного события .

как вероятность достоверного события .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е.:

.

Формула следует непосредственно из формулы .

19. Непрерывная СВ. вероятность отдельно взятого значения НСВ. Мат. ожидание и дисперсия НСВ.

Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек (точки излома).

На рис. 3.7 показана Функция распределения непрерывной случайной величины Х, дифференцируемая во всех точках, кроме трех точек излома.

Теорема. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равна нулю.

☺ Покажем, что для любого значения случайной величины Х вероятность . Представим в виде .

Применяя свойство функции распределения случайной величины Х и учитывая непрерывность F(x), получим:

. ☻

Из приведенной выше теоремы следует, что нулевой вероятностью могут обладать и возможные события, так как событие, состоящее в том, что случайная величина Х приняла конкретное значение , является возможным.

Следствие. Если Х - непрерывная случайная величина, то вероятность попадания случайной величины в интервал не зависит от того, является этот интервал открытым или закрытым, т.е.

.

Математическим ожиданием  непрерывной случайной величиныХ, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл . Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле:. При этом предполагается, что интеграл абсолютно сходится.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения. .

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула: .