16. Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке: об ограниченности функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений.

Св-во об огран-ти: Ф-я f(x), непрерывная на отрезке [a, b], ограничена на этом отрезке. m  f(x)  M, m – min f(x) и M – max f(x) на [a, b].

Например: функция f(x)=12/x непрерывна на [3; 9]. На этом промежутке функция ограничена: 4/3  f(x)  4.

Свойство о достижении крайних значений: Если y=f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на нём она достигает своего наибольшего и наименьшего значений.

Например: функция f(x)=x²-8x+15 непрерывна на отрезке [3; 6]. Следовательно на этом промежутке она достигает своего наибольшего и наименьшего значений, а именно f_max(x)=f(6)=3, f_min(x)=f(4)= – 1.

17. Дайте опр производной ф-и в точке. На основании опр-я найди производную ф-и .

Производная ф-и y=f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции y = f(x₀+x) – f(x₀) к приращению аргумента x при стремлении последнего к 0.

Пример: lim (y/x) = lim ((f(x₀+x) – f(x₀)) / x) при x->0

1. Зададим x

2. Найдём y= f(x₀+x) - f(x₀) = 1/(x+x) – 1/x = – x/(x+x)x

3. Найдём y/x = – 1/(x+x)x

4. y’ = lim y/x (при x->0) = lim (– 1/(x+x)x) = -1/x²

18. Приведите правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, Докажите одно из них на выбор.

[f(x)  g(x)] ’ = f ’(x)  g ’(x)

[f(x) * g(x)] ’ = f ’(x) * g(x) + f(x) * g ’(x)

[f(x) / g(x)] ’ = (f ’(x) * g(x) – f(x) * g ’(x)) / (g(x))²

Доказательство произведения: Пусть y = f(x) * g(x)

1. Зададим x

2. Найдём y = (f +f)(g+g) – f *g

3. Составим отношение:

y/x = ((f+f)(g+g) – f*g)/x = f/x *g + g/x *f + f/x * g/x *x

4. y ' = lim y/x (при x->0) = lim (f/x *g + g/x *f + f/x * g/x *x) = …=g*f ’ + g’ *f

5. [f(x) / g(x)] ’ = (f ’(x) * g(x) – f(x) * g ’(x)) / (g(x))²

Например:

(3x² + 15x)’ = (3x²)’ + (15x)’ = 6x + 15

(40x⁵ – x³)’ = (40x⁵)’ – (x³)’ = 200x⁴ – 3x²

(sinx * 6x²)’ = (sinx)’ * 6x² + sinx*(6x²)’ = 6x² * cosx + 12x*sinx

(4x / e^x)’ = ((4x)’ * e^x – 4x * e^x ’) / (e^x)² = (4 e^x – 4x * e^x) / e^2x

19. Приведите правила дифференцирования сложной и обратной функции. Найдите производную функции согласно сформулированному правилу.

1) Если , а , то произв-я сложной ф-и нах-ся по формуле

,

2) Если существует обратная ф-я , кот в рассматриваемой точке у имеет производную , отличную от нуля, то в соот-ей точке х ф-я имеет производную .

_{Пример:}

Рассмотрим обратную данной функцию x = siny. Эта функция в интервале – π/2 < y < π/2 монотонна. Ее производная не обращается на этом интервале в нуль. Следовательно по правилу дифференцирования (а также с учетом того, что на заданном интервале ) обратной функции имеем: .

20. Дайте опр эластичности ф-и и раскройте смысл этого понятия на примере понятия «спрос и цена». Найдите эластичность функции при х = 1.

Эластичностью ф-и E_х (y) наз-ся предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при Δx →0 , то есть:

. Или окончательно:

Эк смысл эластичности − это процентное приращение величины показателя,

обусловленное увеличением величины на 1%.

Функция называется эластичной в точке , если , нейтральной, если , и неэластичной, если .

Эластичность спроса означает, что его относительное изменение по абсолютной величине превосходит относительное изменение цены; неэластичность означает меньшее относительное изменение спроса по сравнению с ценой; нейтральность – равенство этих изменений по абсолютной величине.

Пример. Пусть зависимость спроса от цены представлена функцией . Величина

равна выручке, получаемой от продажи товара в объеме, равном спросу на товар. Выясним, как изменяется спрос с увеличением цены. Для этого найдем производную :

, откуда .

Будем предполагать, что , поскольку, как правило, спрос умен-ся с ростом цены. В этом случае и, следовательно, имеем .

Отсюда видно, что если спрос эл-ен ( ), то , и с повышением цены выручка от продажи товара сниж-ся; если спрос нейтрален ( ), то , и выр мало зависит от изм-я цены; если спрос неэл ( ), то , и выручка увеличивается с ростом цены.

Пример: y=f(x)=1+2x-x² при x=1

f(x₀) = f(1) = 1+2-1=2, f ’(x) = -2x+2, f ’(x₀) = f(1) = 0

E_xy(x₀) = x₀ / f(x₀)*f ’(x₀) =1/2 *0 = 0 – абсолютно неэластичная