37. Дайте опр экстремума функции двух переменных. В чем состоит необходимое и достаточное условия экстремума. Проиллюстрируйте это на примере.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некоторой области, в некоторой окрестности точки М₀(х₀, у₀) верно неравенство

то точка М₀ называется точкой максимума.

Определение. Если для функции z = f(x, y), определенной в некот обл, в некот окр-ти точки М₀(х₀, у₀) верно нерав-во то точка М₀ называется точкой минимума

Теорема. (Необ-ые условия экс). Если ф-я f(x,y) в точке (х₀, у₀) имеет экс, то в этой точке либо обе ее част производные первого порядка равны нулю , либо хотя бы одна из них не существует.Эту точку (х₀, у₀) будем называть критической точкой.

Теорема. (Дост усл-я экст-) Пусть в окр-ти крит точки (х₀, у₀) ф-я f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:

D=Determinant=∆

1. Если D(x₀, y₀) > 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) имеет экстремум, если

- максимум, если - минимум.

2. Если D(x₀, y₀) < 0, то в точке (х₀, у₀) функция f(x, y) не имеет экстремума

В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.

38. Дайте опр-я условных максимума и минимума функции двух переменных. В чем состоит метод множителей Лагранжа для нахождения условных максимума и минимума функции двух переменных. Приведите пример.

Определение: Точка М₀ = (x_0, y₀)  U называется точкой условного максимума (минимума), если существует ε – окрестности точки М0, что для всех M(x,y) из этой ε – окр-и, удовлетворяет условию g(x,y) = C, выполняется неравенство z0 = f(x0,y0) ≥ z = f(x,y) или соответственно z0 = f(x0,y0) ≤ z = f(x,y).

Опр-е. Ф-й Лагранжа для ф-и z = f(x,y) наз-ся выражение вида

L = (x,y,t) = f(x,y) – t(g(x,y)-c), где t наз-ся множителем Лагранжа

Теорема: Если M0(x0,y0) – точка усл экс ф-и z = f(x,y) при g(x,y) = c, то сущ-ет такое t=t0, что точка (x0,y0,t0) будет точкой экс ф-и Лагранжа.

Алгоритм нахождения точки условного экстремума:

1.Найти критические точки функции Лагранжа, т.е. решить систему уравнений

L'_x = f'x + tg'x = 0, L'x = f'y + tg'y = 0, L't = g – c =0

2.Составим определитель

0 g'x g'y

∆ = g'x L''xx L''xy

g'y L''yx L''yy

3.Вычислить ∆ в критических точках. Если ∆>0, то f(x,y) имеет условный максимум. Если ∆<0, то f(x,y) имеет условный минимум.

Пример

Найти точки условного экстремума функции z = x² + y² при x + y = 1.

1.Функция Лагранжа L(x,y,t) = (x²+y²)t + t(x+y -1)

2.Критические точки

L'x=2x+t=0, L'y=2y+t=0, L't=x+y-1=0, Следовательно (x0=1/2, y0=1/2, t0=-1)

3.Вид условного экстремума

g'x= (x+y)'x=1, g'y=(x+y)'y=1, L'xx=2, L'xy=0, L'yy=2

∆= 0 1 1 = -4<0

1 2 0

1 0 2 То M₀ (1/2, ½) –точка условного минимума.

39. Дайте опр однородной ф-и двух аргументов и сфор теорему Эйлера. Явл-я ли ф-я однородной, и если да, то какова степень одн-ти?

Однородная ф-я – ф-я одного или неск переменных, удовлетворяющая след условию: при одновременном умножении всех аргументов ф-и на один и тот же (произвольный) множитель зн-е ф-и умножается на некот степень этого множ-ля, т. е. для однородной ф-и двух аргументов f (x, y) при всех зн-ях х, у и любом λ должно иметь место рав-во: f (λx, λу) = λⁿf (х, y), где n — т.н. степень однор-ти.

Т Эйлера: если в выражении полного диф-ла  ф-и f (x, у) заменить диф-ал каждого независимого переменного самим этим переменным, то получают ф-ю f (x, у), умноженную на степень однородности, т.е. :        

_{Степень однородности равна (–4).}