40. Дайте определение выпуклой функции двух аргументов и приведите критерий выпуклости. Проиллюстрируйте это на примере.

Множество называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками и оно целиком содержит отрезок . Функция, заданная на выпуклом множестве, будет выпуклой вниз, если все точки поверхности, заданной этой функцией, соответствующие отрезку множества В, лежат не выше хорды, соединяющей точки (рис. 12). Анал-но можно дать геом-ое толкование вып вверх ф-и двух переменных.

О чевидно, выпуклая ф-я не может иметь седловых точек (точек перегиба). Это зн-ит, что для вып ф-и рав-во нулю частных производных явл-я не только необ усл экс-, но и дост.

Более того, экстремум выпуклой ф-и явл-ся глобальным, то есть наим-м зн-ем во всей области определения в случае функции, выпуклой вниз, и наиб-им в случае функции, выпуклой вверх.

Теорема. Если ф-я выпукла (вогнута) во всей обл определения D, тогда она имеет не более одной точки глобального минимума (максимума) в области D.

Пример: Исследовать на выпуклость и вогнутость:

Найдем критические точки:

Исследуем эти точки, для этого найдем частные производные:

Исследуем точку M₁: а) А=6х (М₁=0), В= –6 (М₁= –6), С=48у (М₁=0)

∆(М₁)=АС –В²= –36 < 0. В точке М₁ нет экстремума, т.к. ∆<0.

Исследуем точку M₂: б) А=6х (М₂=6), В= –6 (М₂= –6), С=48у (М₂=24)

∆(М₂)=108 > 0. Т.к. значение A>0, значит в точке М₂ минимум (z_min=0). Ф-я выпукла.

41. Дайте определение и перечислите основные свойства неопределенного интеграла, иллюстрируя их примерами.

Определение: Если F(x) – первообразная для f(x),то выражение F(x) + C, где С – произволь пост-ая, наз-ся неопределенным интегралом от ф-и f(x).

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

_{Свойства:}1. Пример

_{2. Доказательство:}

Пример

3. Пример

4. где u, v, w – некоторые функции от х.

Док-во: Это вытекает из того, что если ф-и U, V и W – первообразные соот-но для u, v и w, то производная их суммы (разности) будет равна сумме (разности) производных.

Пример

5. Пример

42. Сформулируйте теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и правило интегрирования по частям. Докажите любое из этих двух утверждений.

Замена переменной

Теорема: Пусть ф-я x = (t) определена и диф-ема на промежутке Т и Х – мн-во ее зн-й, на кот определена ф-я f(x). Тогда если F(x) – первообразная f(x) на Х, то F((t)) - первооб для f((t)) (t) на Т, т.е. на множестве Т выполняется ра-во

Док-во: По правилу диф-ия сложной ф-и производная левой части равенства равна:

Что совпадает с подынтегр ф-ей в правой части рав-ва, это и док-ет рав-во. Т-ма док-на.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям:

Док-во Имеем фор-лу для диф-ла произведения ф-й uv: d(uv) = udv + vdu

Проинт-в обе части рав-ва, получаем: , а в соотв-и с прив-ми выше св-ми неопр-го интеграла: или ;

Получили фор-у инте-ия по частям, кот позв-ет нах-ть инт-лы мн-их элем ф-й.

Пример: