13. Перечислите основные локальные свойства непрерывных функций.

Свойство1: Если f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то f(x)+g(x), f(x)-g(x), f(x)*g(x) и f(x)/g(x), при g(x)  0, непрерывны в точке х₀.

Например: f(x) = 2x и g(x) = x² непрерывны в точке x₀=2. И соответственно f(x)+g(x)=2x+x², f(x)-g(x)=2x-x², f(x)*g(x)=2x*x²=2x³, f(x)/g(x)=2x/x²=2/x непрерывны в точке x₀=2.

Свойство2: Если f(x) непрерывна в точке х₀, причём f(х₀)  0, то существует некоторая E-окрестность точки х₀, во всех точках которой f(x) имеет тот же знак, что и в точке x₀.

Например: функция f(x) = x² – 4x + 7 в точке x₀ = 2 принимает значение f(x) = 3 (f(x) > 0), и в некот E-окрестности точки x₀ все точки функции принимают положительное значение.

Свойство3: Если функция f(x) непрерывна в точке х₀, а g(t) непрерывна в точке t₀, то y=f(g(t)) непрерывна в точке t₀.

Например: f(x) = 3x² непрерывна в точке x₀=1, а функция g(t) = 14t+8 непрерывна в точке t₀=2, то следовательно функция f(g(t))=3*(14t+8)²=588t² + 672t +192 также непрерывна в точке t₀=2 f(g(2))= 3888

14. Сформ теорему о сущ-и корня уравнения для ф-и , непрерывной на отрезке. Докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .

Если функция f(x) непрерывна на отреке [a, b] и на концах отрезка принимает зн-я разных знаков (т.е. f(a)*f(b) < 0), то сущ-ет точка c, принадлежащая (a, b), такая что f(c) = 0.

Пример: f(x) = e^x-1 - (x+1) ln(x+1)

f(0) = e^-1 – 1*ln1 = e^-1 >0

f(1) = e⁰ – 2*ln2 < 0

f(0)>0, f(1)<0 => существует точка с, принадлежащая [0;1], такая что f(c) = 0, т.е. уравнение имеет корень на отрезке [0;1].

15. Сформ теорему о существовании и непрерывности ф-и, обратной к строго монотонной непр ф-и. Приведите пр-р и обоснуйте его на основании теоремы.

Пусть ф-я f (x) определена на отрезке [a, b] и ее  зн-я принадлежат отрезку [c, d]. Если для любого зн-я у из [c, d] сущ-ет одно и только одно значение х из [a, b] такое, что y = f(x), то говорят, что на отрезке [c, d] определена функция , обратная к ф-и f(x).

Теорема. Пусть на некотором промежутке определена непрерывная строго монотонная функция с множеством значений . Тогда на существует обратная функция , тоже непрерывная и имеющая тот же характер монотонности.

Пусть ф-я f (x) опр-на на отрезке [a, b] и ее  зн-я принадлежат отрезку [c, d]. Если для любого значения у из [c, d] существует одно и только одно значение х из [a, b] такое, что y = f(x), то говорят, что на отрезке [c, d] определена функция , обратная к ф-и f(x).

Теорема. Пусть на некотором промежутке определена непрерывная строго монотонная функция с множеством значений . Тогда на существует обратная функция , тоже непрерывная и имеющая тот же характер монотонности.

Пример: Рассмотрим экспоненциальную функцию y=e^x (эта функция точно монотонна и непрерывна). Область определения этой функции (–∞; +∞), область значений этой функции (0; +∞). Рассмотрим и обратную ей функцию: y=ln x (эта функция также монотонна и непрерывна, что легко установить и графически). Область значений этой функции (–∞; +∞), область определения этой функции (0; +∞).