- •Дайте опр-я ф-и, а также сложной и обратной ф-й одной действительной переменной. Найдите обл опр и обл значений функции .
- •Сформулируйте св-ва четности, нечетности, периодичности, монотонности, ограниченности ф-и. Определить явл-ся ли след ф-я четной или неч.
- •Дайте определения числовой посл-ти и предела числовой посл-ти. Сфор-те теорему о единственности предела числовой посл-ти.
- •Переч правила вычисления пределов посл-тей. Дайте определение числа e.
- •Дайте определение предела функции. Перечислите основные свойства пределов функций.
- •Дайте определения односторонних пределов функции.
- •Перечислите основные правила вычисления пределов функций.
- •Приведите первый (с доказательством) и второй замечательные пределы.
- •Дайте опр непрерывности ф-и в точке. Сформ-те условия непрерывности сложной ф-и. Что вы можете сказать о непрер-ти основных элем ф-й?
- •Перечислите основные локальные свойства непрерывных функций.
- •Сформ теорему о сущ-и корня уравнения для ф-и , непрерывной на отрезке. Докажите, что уравнение имеет корень на отрезке .
- •Сформ теорему о существовании и непрерывности ф-и, обратной к строго монотонной непр ф-и. Приведите пр-р и обоснуйте его на основании теоремы.
- •Сформулируйте свойства функций, непрерывных на отрезке: об ограниченности функции, о достижении наибольшего и наименьшего значений.
- •Дайте опр производной ф-и в точке. На основании опр-я найди производную ф-и .
- •Приведите правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного двух функций, Докажите одно из них на выбор.
- •Приведите правила дифференцирования сложной и обратной функции. Найдите производную функции согласно сформулированному правилу.
- •Дайте определение производных высших порядков ф-и одного аргумента. Приведите примеры вычисления таких производных.
- •Сформулируйте с обоснованием ответ на вопрос: в чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?
- •Обоснуйте возможность использования дифференциала в приближенных вычислениях. Приведите пример.
- •Сфор-те теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .
- •Сформ теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .
- •Сформулируйте правило Лопиталя. Докажите первый и второй замечательные пределы с помощью правила Лопиталя.
- •Дайте определения возрастающей и убывающей функций. В чем состоит необходимое и достаточное условия локального экстремума функции.
- •Дайте определения выпуклых вниз и вверх функций одного аргумента. Приведите достаточные условия выпуклости функции. Приведите примеры.
- •В чем состоит необх и дост признаки точки перегиба графика функции. Приведите пример.
- •Дайте опр-я ф-и двух переем-ых, предела и непрерывности ф-и двух переем-х.
- •Дайте определения частных производных ф-и двух переменных, дифференцируемости ф-и нескольких переем-х и ее дифференциала. Приведите примеры вычисления производных и диф-ла ф-и двух пременных.
- •Дайте опр-я производной по напр-ю и градиента ф-и двух перем. ВчемСостоитОсновное св-о градиента ф-и.
- •Сформулируйте теорему о наибольшем и наименьшем значениях дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве. Приведите пример.
- •Дайте опр- частных производных высших порядков ф-и двух перем. Сформ теорему о равенстве смешанных производных и приведите в качестве ее иллюстрации пример.
- •Дайте опр экстремума функции двух переменных. В чем состоит необходимое и достаточное условия экстремума. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте опр-я условных максимума и минимума функции двух переменных. В чем состоит метод множителей Лагранжа для нахождения условных максимума и минимума функции двух переменных. Приведите пример.
- •Дайте опр однородной ф-и двух аргументов и сфор теорему Эйлера. Явл-я ли ф-я однородной, и если да, то какова степень одн-ти?
- •Дайте определение выпуклой функции двух аргументов и приведите критерий выпуклости. Проиллюстрируйте это на примере.
- •Дайте определение и перечислите основные свойства неопределенного интеграла, иллюстрируя их примерами.
- •Сформулируйте теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и правило интегрирования по частям. Докажите любое из этих двух утверждений.
- •Дайте определение и приведите пример первообразной. Сформулируйте теорему о существовании первообразной для непрерывной функции.
- •Напишите формулы вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Приведите в обоснование чертежи к каждой из формул и приведите примеры.
- •Дайте определения несобственных интегралов с бесконечными пределами. Приведите примеры вычисления таких интегралов.
- •Сформулируйте определения числового ряда и его суммы. В чем состоит достаточный признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
- •Сформулируйте определения и приведите признаки сходимости положительных и знакочередующихся рядов. Проиллюстрируйте это на примерах.
- •Дайте опр степ ряда и обл его сх-ти. Приведите фор-лу для выч-я радиуса сх-ти степ ряда.
Дайте опр-я производной по напр-ю и градиента ф-и двух перем. ВчемСостоитОсновное св-о градиента ф-и.
Производная по напр-ю —предел df(x0,y0)/de→ =limt→0+0 f(xo+tex,y0+tey)-f(x0,y0)/t Произв по напр-ю пок-ет на сколько быстро ф-я изменяется при движении вдоль заданного направления. Так как произв пок-ет скорость изм-я ф-и, то можно сказать, что хар-ет быстроту изм-я ф-и по напр-ию в точке . Если напр-е совпадает с полож-ым напр-ем оси Ох, то есть част производная ф-и по х в точке . Если совпадает с полож направлением оси Оу, то есть частная производная функции по у в точке .
f’(M)=F Y(M)*V1+F Y(M)*V2/
Градиент-вектор, координаты которого равны соответствующим частным производным данной функции в точке M. gradf(m)=(f x(m);f y(m)) z=5x3y2-x
Пр. Пусть z=f(x;y) = 3х+5у+6. Тогда grad z = {3;5} – направл роста ф-и – вектор нормали.
Основное свойство градиента: Вектор-градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции в данной точке.
grad (C · f) = C · grad f, grad (f + g) = grad f + grad g,
grad (f · g) = g · grad f + f · grad g,
grad f/g = g · grad f − f · grad g/g2
Сформулируйте теорему о наибольшем и наименьшем значениях дифференцируемой функции на замкнутом ограниченном множестве. Приведите пример.
Пусть ф-я u = f (x1 , x2 ,…, xn) опр-на и непрерывна в нек- огр-ом и замкнутом мн-ве D и имеет на этом мн-ве конечные част производные (за искл, быть может, отд точек). Тогда эта ф-я достигает на D своего наиб и наим зн-я (см. св-ва непрерывных ф-й). Если это знач дост-ся во внутр точке мн-ва, то, очевидно, эта точка д быть стац; кроме того, наиб и наим зн-е может дост-ся на границе мн-ва D. Поэтому для опр-ия наиб и наимо зн-й ф-и на мн-ве D треб-ся:
найти стац точки ф-и, принадлежащие D, и выч-ть зн-я ф-и в этих точках; 2)найти наиб и наим зн-е, принимаемое ф-ей на границе мн-ва D;3) выбрать наим и наиб из полученных чисел, кот-е и будут являться наим- и наиб- зн-ми ф-и на всем мн-ве D.
Пример. Найдем наиб зн ф z = sin x + sin y – sin (x + y) в треуг-ке со сторонами х = 0, у = 0, х + у = 2π. Стац точки опр-ся из решения системы , откуда . Един-ой внутр точкой дан тр-ка, являющейся реш-м получ сис-мы, будет , в кот . Это зн-е оказывается наиб и на всем рассм-ом мн-ве, так как на его границе z = 0.
Дайте опр- частных производных высших порядков ф-и двух перем. Сформ теорему о равенстве смешанных производных и приведите в качестве ее иллюстрации пример.
Пусть D – открытое множество в R2 , f(x,y) – определенная на множестве D ф-я. Предположим, что в каждой точке М D существуют частные производные f ‘x и f ‘y. Тогда частные производные f ‘x(x,y) и f ’y(x,y) естественно считать ф-ми с обл опр D Они наз-ся частными производными пер-го порядка. Част производные от ф-й f ‘x(x,y) и f ’y(x,y) наз-ся част производными вт-го порядка от ф-и f(x,y). Част производные от част производных вт-го порядка наз-ся част производными т-го порядка и т.д. Если первая производная ф-и z= f(x,y) была взята скажем, по x, то ее частные производные в (x0,y0) обозн-ся так:
Продолжая дифф-ть полученные рав-ва, получим частные произв более высоких порядков.
Определение. Частные производные вида и т.д. называются смешанными частными производными.
Теорема. Если производные fxy(x,y) fyx(x,y) существуют в некоторой окрестности точки М(x0,y0) и непрерывны в самой точке М, то имеет место равенство: .
Пример: Док-ть справедливость теоремы (част производные высших порядков не зависят от порядка дифф-ия) для f (x;y) = x3–3y3+5xy2
Проверка: f 'x=3x2+5y2 f 'y=10xy–9y2 f ''xy=10y f ''yx=10y. Теорема спр-ва.