46. Дайте определения несобственных интегралов с бесконечными пределами. Приведите примеры вычисления таких интегралов.

Пусть ф-я f(x) опр-на и непр-на на инт-ле [a, ). Тогда она непр-на на любом отрезке [a, b].

Оп-е: Если существует конечный предел , то этот предел называется несоб-м интегралом от ф-и f(x) на интервале [a, ). Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример. - не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример. - интеграл сходится

47. Дайте определение двойного интеграла. Сформулируйте определение элементарной области вдоль координатной оси и правило вычисления двойного интеграла. Приведите пример вычисления двойного интеграла.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0. Сово-ть всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой обл-ю . Если выбрать точки обл-и без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область .С геом точки зрения  - площадь фигуры, огран0ой контуром.

Разобьем область  на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние х_i, а по оси у – на у_i. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = x_i  y_i .

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – ф-я непр-ая и однозначная для всех точек области . Если беск увел-ть кол-во частичных обл-ей _i, тогда, очевидно, площадь каж частичного участка S_i стремится к нулю.

Опр-е: Если при стремлении к нулю шага разбиения обл  интегральные суммы имеют кон предел, то этот пр наз-ся двойным инт-ом от ф-и f(x, y) по обл .

С учетом того, что S_i = x_i  y_i получаем:

В прив-ой выше записи им-ся два знака , т.к. сумм-ние производится по 2 перем х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

Теорема. Если ф-я f(x, y) непр-на в замкнутой обл , огран-ой линиями х = a, x = b, (a < b), y = (x), y = (x), где  и  - непрерывные функции и   , тогда

Пример. Вычислить интеграл , если область  ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

=

48. Сформулируйте определения числового ряда и его суммы. В чем состоит достаточный признак сходимости ряда. Гармонический ряд.

Числовой ряд. Пусть дана {u_n}- числ. послед.; Числовым рядом называется бесконечная сумма членов послед. u_n т.е. u₁+u₂+…+u_n+…

обозначение:

Ряд называется сходящимся, если сходится посл-ть его частных сумм к некот числу S. S-сумма ряда. Сумма сход ряда – предел посл-ти его частных сумм.

Критерий Коши (необ-ые и дост усл-я сходимости ряда): Для того, чтобы посл-ть была сходящейся, необ-мо и дост-но, чтобы для любого сущ-вал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, вып-ось бы нерав-во: .

Для того, чтобы ряд был сход-ся необ-мо и дост-но, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 вып-ось бы нер-о

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

.Р яд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних. Согласно интегральному признаку, ряд расходится!