17. Основні елементи замкнутих скеп. Форми математичного опису елементів електромеханічної системи. Методи лінеаризації.

До елементів ЕМСАК та електроприводів відносяться перетворювальні, електродвигунні, передаточні та керуючі пристрої.

Більшість реально існуючих елементів описуються нелінійними диференціальними рівняннями, коефіцієнти яких є функціями змінних (координат) системи, або функціями часу. З урахуванням цього методологія складання рівнянь для окремих елементів полягає у наступному:

1. Обумовлюються необхідні припущення з метою ідеалізації даного елемента і на цій основі складаються вихідні диференційні та алгебраїчні рівняння в кількості, достатній для визначення змінних, які входять в ці рівняння;

2. Нелінійні функції, які входять в рівняння, задаються аналітично або графічно. Потім вони піддаються лінеаризації, наприклад, за допомогою розкладання в ряд Тейлора , в якому відкидаються всі члени, які містять похідні вище першого порядку. Можливо також застосування гармонічної лінеаризації, графічної лінеаризації, а також інших методів [3];

3. Визначаються початкові та усталені значення змінних;

4. Змінні величини часто замінюються їх відхиленнями від початкових значень, що дає можливість виключити з розгляду початкові умови.

Після цього отримуються диференційні рівняння зі сталими коефіцієнтами, які у загальному вигляді визначаються формулою:

,

де Х_вих, Х_вх – вихідна та вхідна змінні, а_n,...а₀ – сталі коефіцієнти; K – коефіцієнт передачі ланки.

Для отримання передаточної функції елемента в якості ланки САК, переходять до зображення представленого вище рівняння згідно перетворення Лапласа при нульових початкових умовах:

,

де Х_вих(р), Х_вх (р) – зображення вихідної та вхідної змінних.

Передаточна функція елементу записується у вигляді:

розрізняються шість основних типових динамічних ланок: безінерційна, аперіодична, інтегруюча, диференціююча, коливальна, запізнювальна.

Розглянемо деякі способи визначення параметрів передаточних функцій елементів ЕМСАК. До таких параметрів відносяться коефіцієнти підсилення, електромагнітні та електромеханічні сталі часу.

Визначення коефіцієнта підсилення (коефіцієнта передачі) ланки базується на тому, що цей коефіцієнт є співвідношенням між приростом вихідної змінної _вих та відповідним приростом вхідної змінної _вх в усталеному режимі. При наявності статичної характеристики “вхід-вихід” (див. рис. 4.1) ці прирости визначаються поблизу припускаємої робочої точки (РТ).

2. Рис. 4.1

Розповсюдженими способом визначення сталої часу аперіодичної ланки є обробка осцилограми перехідного процесу змінної при подачі на вхід ланки ступінчастого сигналу Х_вх (див. рис. 4.2,а). Існує декілька прийомів знаходження величини сталої часу Т:

• за допомогою дотичної, яку проведено до кривої з початку координат. Ця дотична відсікає значення сталої часу Т на горизонталі Х_{вих.уст};

• за координатою 0.63 Х_{вих.уст} ;

• за відношенням площини S до відповідної координати Х₁.

Зокрема, визначаючи повну площину S, обмежену кривою , асимптотою Х_{вих.уст} і початковою ординатою Х_{вих.поч} (у випадку, коли змінна Х_вих починається не з нульового значення), отримуємо:

.

Стала часу ідеальної інтегруючої ланки відповідає часу, за який вихідна змінна змінюється на величину вхідної ступінчастої дії . Сталу часу та коефіцієнт підсилення реальної інтегро-інерційної ланки, яку можна представити двома послідовно з’єднаними ланками – інтегральної і аперіодичної (інерційної) з передаточною функцією виду , також можна визначити за допомогою перехідної характеристики (див. рис. 4.2,б). В цьому випадку стала часу Т відповідає точці перетину асимптоти з віссю часу. Коефіцієнт підсилення інтегро-інерційної ланки знаходиться за формулою К = tg , де - кут між асимптотою та віссю часу.

Стала часу реальної диференціюючої ланки з передаточною функцією виду , яку можна представити у вигляді послідовного з’єднання диференціюючої та інерційної ланок, визначається за допомогою осцилограми по інтервалу часу від моменту подачі вхідної ступінчастої дії до моменту досягнення 37% її початкового (при t=0) значення (див. рис. 4.2,в). Коефіцієнт підсилення ланки К визначається відношенням і при =1 відповідає початковому значенню вихідної координати.

Визначення параметрів передаточних функцій деяких комбінованих ланок за допомогою перехідних характеристик розглянуто в підрозд. 4.4.2. Докладна методика розрахунку електромагнітних та електромеханічних сталих часу електроприводу наведена в [1-5, 8, 9].

В тих випадках, коли система керування містить негладкі (розривні) нелінійності типу обмеження, зони нечутливості, гістерезису та ін., можливе виділення режимів, в яких ці нелінійності не впливають на її роботу. Так, наприклад, обмеження вихідної напруги регулятора не проявляється при малих значеннях вхідного сигналу, наявність сухого тертя можна не враховувати, якщо в процесі регулювання швидкість двигуна не зменшується до значень, близьких до нуля. В таких випадках система може розглядатись, як лінеаризована.

При дослідженні режимів, для яких неможливо виключити вплив нелінійностей, доцільно використовувати метод гармонійної лінеаризації та моделювання на ЕОМ.

Математичний опис процесів в цифрових системах керування електроприводів здійснюється на основі різницевих рівнянь та Z- перетворень [6, 7].