Методика введения операций над новыми числами:

1. Решение задач сводится к старому множеству (действует принцип мощности матем. правил).

2. Выделение операций. Операция и результат переносится из старого множества в новое множество.

3. Формулируется правило (алгоритм) выполнения операций.

- определение (+, *)

- теорема для обратных действий (существование и единственность результата).

4. Рассмотрение примеров (задачи с дидактическими функциями), с выполнением требованиями дидактической полноты.

5. Контроль.

Задача: На пальто израсходовано 2,31 м ткани. На костюм 2, 63 м. Сколько израсходовано на пальто и костюм.

Решение:1) на старом множестве (множество натур. чисел).2 м 31 см + 2 м 63 см= 4 м 94 см.

на основе принципа общности

или (м).

Упражнения с дидактическими функциями: 6,4+5,28=6,40+5,28= 95,348+137,89= .

При изучении прямых операций должны рассм-ся св-ва или законы: в «+»-2 операции, при «-» -3 операции. Законы: 1) а+в=в+а, 2) а+(в+с)=(а+в)+с. Каждый закон проверяется на примере.

К изучению обратных операций рассматривают два подхода: индуктивный и дедуктивный. Суть индуктивного подхода состоит в том, что приводится конкретная задача и по аналогии с предыдущей ситуаций вводится алгоритм. Дедуктивный:1).Водится операция.

Пример.Вычитание.

1.Опр. а-в=х, х+в=а.

2.Теорема о существовании и единственности разности. х+в=а (по определению),

х+в+(-в)=а+(-в), х=а+(-в)-

алгоритм.

2)Доказывается теорема.

Операцию вычитания мы свели к операции «+», кот-я для двух эл-тов а и –b выполняется всегда и однозначно. Это дедуктивный подход к изучению обратных операций, т.е. опр-е, теорема, алгоритм.

11. Функциональная линия в школьной программе. Методическая схема изучения функций в основной и в старшей школе.

Функциональная линия - приоритет в школе. Понятие функция должно играть руководящую роль в курсе средней школы.

Существуют два подхода к трактовке понятия функции:

I.Классическое направление (генетическое, историческое): рассматривают два варианта определения:

1. функция рассматривается как переменная величина.

2. как закон (правило). (Алгебра6-8, Алимов, Виленкин Н.Я. Алгебра и начало анализа-9-11).

II.Современное (теоретико-множественное) направление

1. определяется функциональная ситуация.

2. функция трактуется, как правило (закон).

3. функция особый вид отношения.

1) Отношение рассматривается как множество пар;

2) Область определения – это множество первых элементов, а область значения - второе.

3) Функция - отношение, не содержащее пар с одинаковыми первыми элементами.

Пропедевтический курс представлен двумя этапами: 1) 1-4 классы; 2) 5-6 классы. Терминология не вводится.

В 5 классе понятие единичного отрезка, координатной точки, координатного луча. Учащиеся встречаются с формулами при нахождении одной величины через любую другую.

В 6 классе – координатная прямая и координатная плоскость. Умение отметить точку по заданным координатам,  определить координаты точки. Умение читать (исследовать) графики и строить столбчатые диаграммы.

1. Подготовка к введению понятия «переменная величина».

2. Нахождение числовых значений алгебраических выражений (вычисление значения функции в точке).

3. Подготовка к нахождению области определения функции (S=7t, y=2,5n).

4.Подготовка к изучению способов задания функции.

5. Решение практических задач (S=а², Р=4а, S= х(х+2)).

6. Подготовка к исследованию функции.

«Функция» (лат) исполнение, совершение, - Лейбниц, 1694 г. Эйлер отождествил функцию и аналитическое выражение. 1834- определение дано Лобачевским через понятие переменная величина. 1837 Дирихле трактовал функцию через соответствие. Символика y=f(x) введена Эйлером.

В 7 классе вводится понятие функция (программы). В большинстве учебников через понятие переменной величины: (Макарычев)

Задача. Расстояние между станцией и турбазой 60 км. С турбазы отправился велосипедист со скоростью 12 км/ч. На каком расстоянии от станции он будет через Х часов?

y – зависимая или функция, x – независимая переменная.

С изменением количество часов изменяется расстояние. Выбираем несколько значений х и находим значение y. Каждому выбранному значению х соответствует единственное значение y.

Затем дают определение.

Опр: зависимость переменной y от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное y.

В 9 классе изучают квадратичную функцию и осуществляется первое знакомство с тригонометрическими функциями, а также функцию .

В 10 классе изучение тригонометрических функций, производной функции. Опр. (Колмогоров, Виленкин): функцией с область определения D называется соответствие, при котором каждому х D сопоставляется некоторое вполне определяемое у.

В 11 классе: первообразная функция, показательная, логарифмическая и некоторые сложные функции, например, показательно – степенная функция

В 8 классе (Ю.Макарычев, Н. Миндюк, Алгебра-8, 1995г.). Задача 1: Таблица квадратов от 10 до 99. Замечаем, что каждому двухзначному числу соотв-ет един-й квадрат, такие соответствия называют функцией (y=x²). Вводят термины: зависимая переменная (функция), независимая переменная (аргумент). Вводится символика D(y), E(y), E(f). а) сразу рассматривают числовые и нечисловые функции; б) нечисловые функции: например, (прямоугольник) S_ ; каждая точка прямой действительное число. Опр. функцией называется соответствие между двумя множествами, при котором каждому элементу одного множества, соответствует единственный элемент другого множества. Способы задания функции: а) аналитические, включая задания несколькими формулами; б) табличный способ; в) описанием, например, у=signx, каждому отрицательному числу -1, 0 0, положительному 1; г) графический.

Методическая схема изучения функций для основной школы.1. рассматривать конкретные ситуации (задачи), приводящие к данной функции. 2. сформулировать определение функции, дать запись функции формулой, исследовать входящие параметры. 3. график функции. 4. Изучение свойств (графический, символический, словесный). 5. применение свойств в задачах (уравнения, неравенства).

Методическая схема изучения функции в старшей школе.

Нахождение области определения, области значения. Исследование на четность. Исследование на периодичность, с указанием периода. Нули (корни) функции. Точки пересечения с осями координат. Промежутки знкакопостоянства (y>0, y<0). Промежутки монотонности (возрастание, убывание). Точки экстремума (точки минимума и максимума). Наибольшее и наименьшее значение. Особенности (уравнение оси симметрии, уравнение асимптоты). Пример:f(x)= -x²-2x+3. График. D(y)= R, E(y)=(- ; 4). f(x) общего вида. Функция не периодическая. Нули функции х = -3, х=1. Точки пересечения с Оу (0; 3), точки пересечения с Ох А(-3; 0), В(1; 0).Промежутки знакопостоянства f(x)>0 на (-3.1), f(x)<0 на ( . Промежутки монотонности f ↑ на ( ; f ↓ на . Точки экстремума: х=(-1) – точка максимума, у=4 – максимум функции. Наибольшее значение равно 4; наименьшее значение нет.

Основные этапы в изучении функции.

I(прпедев.) разъясняется понятие переменная величина. II(пропедев.) наглядное представление зависимости (таблицы, графики, диаграммы и т.д.). III(7 класс) введение терминологии: определение функции, область определения и область значения функции, график функции, способы задания. IV. Знакомство с функциями, заданными несколькими формулами: . V.Использование f(x) в трактовке другие понятия у=ах+в, х€R, связанно с арифметической прогрессией а_п=а₁+(п-1)d, n€N y=ax+b, x€N в геометрии.

12. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики (опр., основные методы решения, обобщенный метод интервалов в решении неравенств).

В методике существуют различные подходы к трактовке понятия уравнения:

1. противопоставляются понятия уравнение и тождество: уравнение рассматривается как равенство, верное при определенных значениях переменной, а тождество при всех.

2. уравнением называется равенство вида f(x)=g(x), где f(x) и g(x) некоторые функции. Применяется в школьной программе.

3.на базе логической функции. Логическая функция – это функция, множество значений которой яв-ся 2 элемента: истинно или ложно. Всякое уравнение в этом подходе может быть представлено в виде: f(x, y…., z) = g(x, y,……,z). Определение отдельных видов уравнений и неравенств по классам вводятся в связи с изучением соответствующих функции: 1.линейные. 2.квадратные уравнения. 3. тригонометрические. 4. логарифмические. 5. дробно-рациональные.(выписать определения из учебников).

Функциональный подход к решению уравнений и неравенств.

1. обе части уравнения (нерав.) рассматривают как некоторые функции (f(x)=g(x)).

2. ОДЗ, как D(f) D(g).

3.широко применяется графический метод решения или графическая иллюстрация. 4.при решении уравнении в подходящих случаях используют свойства функций. Например, log₂(2^x-7)=3-x, уравнение имеет единственный корень.

Уравнения и неравенства рассматриваются в математике с 1 по 11класс.

5-6 класс – Основные понятия: уравнение, корень уравнения, решить уравнение;

Методы решения:

1. подбор корня.

2. зависимость между компонентами арифметических действий.

3. свойства числовых равенств.

Пример: пусть х- корень данного уравнения, тогда по определению корня (х+633)-567=666-х, х+х+66=666-х+х, 2х+66-666, 2х+66-66=666-66, 2х=600, х=300. Обязательным шагом является проверка.

7 класс - водится основная терминология (опр. уравнения, корни уравнения, свойства, множество решений и равносильность уравнений);

Учащиеся могут решать уравнения с использованием равносильности. Два уравнения называются равносильными, если множество их решений совпадают.

В учебнике рассматривают теоремы равносильности уравнений: 1. к обеим частям уравнения можно прибавить (вычесть) одно и то же число. 2. можно умножить (делить) на одно и то же число не равное нулю. Члены уравнения можно переносить из одной части в другую.

Некоторые авторы исключают термин «переменная», а другие «неизвестное» (равенство с неизвестными, равенство с переменными).

8 класс – квадратные и дробно-рациональные уравнения, линейные неравенства с одной переменной;

9 класс - квадратные уравнения и неравенства с одной переменной и некоторые виды уравнений, связанные с изучаемыми функциями, знакомятся с понятием степень целого рац. уравнения, что позволяет решать уравнения 3,4 степени;

10 класс - тригонометрические уравнения и неравенства, некоторые уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции, метод интервалов;

11 класс - трансцендентные уравнения, связанные показательной, логарифмической функциями, методы их решения, системы уравнений и неравенств.

Основные методы решения уравнений:

- разложение на множители;

- введение новых переменных;

- уравнения, содержащие модуль;

- использование свойств входящих функций.

Обобщенный метод интервалов: неравенство приводим к виду f(x)≥0, т.е.

1. все члены переносим в одну часть

2. рассматриваем функцию y=f(x), заданную выражение в левой части неравенства.

3. находим D(f).

4. нули функции, у=0.

5. на координатной прямой отмечаем нули функции D(f).

6. В D(f) рассматриваем числовые промежутки и определяем знак в каждом из них. На основе свойства непрерывности функции f(x) на D(f), делаем заключение.

7. Ответ.

Пример: .

1. Рассматриваем

f(x)= .

2. D_f : R .

3.f(x) непрерывна при x€ D_f.

4.f(x)=0, х=3, х=-2- нули функции.

5. обозначить на координатной прямой, определить знак.

6. по теореме о свойстве непрерывности функции: