10. Методика введения новых чисел. Изучение операций над числами.

Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир. ( Гете)

Линии числа относятся к числу основных в школьной программе, наиболее объемная линия. Она представлена с 1 по 11 классы.

1-4 классы - первый пропедевтический уровень, изучает множество натуральных чисел.

5-6 классы - второй пропедевтический уровень, Изучает множество натуральных чисел, операции, свойства.

5 класс - десятичные дроби.

6 класс - обыкновенные дроби, отрицательные числа. Формирование представлений о множестве рациональных чисел.

7 класс - первое знакомство с иррациональными числами.

8 класс продолжение изучения множества иррациональных чисел.

9 класс формирование представления о множестве действительных чисел.

10-11 класс множество действительных чисел и в классах с углубленным изучением множество комплексных чисел.

Методика введений новых чисел:

1. Практическая или математическая ситуация, требующая введения новых чисел (мотивация).

2. Введение названия, обозначения новых чисел.

3. Определение (описание).

4. Установление связи с известными числами (графическая иллюстрация, схем, геометрические иллюстрации).

(Задачи с кругами Эйлера, где 1-действительные числа, 2-иррациональные,3 – целые, 4- четные, 5 – простые, 6 – мнимые, 0 – ноль, 2).

5. Контроль (чтение, запись, изображение).

Рассмотрим реализацию этой схемы при введении отрицательных чисел.

Существует несколько подходов:

I подход. В связи с рассмотрением величин, которые изменяются в противоположных направлениях (см. учебник Виленкин Н. Я. Математика 6, задача с белкой).

II подход. В связи с невозможностью выполнения операций вычитания во множестве положительных чисел.

6 – 4 = 2

6 – 6 = 0

6 – 8 = ? (создается проблемная ситуация)

Способы решения этой задачи:

1. числа долги

2. с помощью координатной прямой (числа, написанные красным цветов).

8 класс- знакомство с иррациональными числами начинается с задачи х²=2. Решение выполняется графически. Учащиеся видят, что уравнение имеет два вида и приближенное значение равняется х~±1,4. Геометрически измеряли диагональ квадрата с помощью единичного отрезка равного длин его сторон, можно доказать, что это число не является рациональным т.е. их нельзя представить в виде несократимой дроби.

Доказательство методом от противного. Предположим, что - рациональное число. -несократимая дробь. Тогда ( )²=2, m²=2n² (2n²- четное). Тогда и левая и правая часть будут четными числами. (2к)²=2n²- четная.4к²=2n², (2к)²=n², (2к)²-четная n² четная, (2к)²=(2р)², (2к)²=(4р)², к²=2р² ( )²=2.Дробь сокращена, но это противоречит условию. Эти новые числа, которые мы получили, называются рациональными (“ratio”-отношение, иррациональные-«не», иррациональные- не выражаются отношением). Иррациональные числа можно записать в виде десятичной бесконечной непериодической дроби.

При изучении операций над числами, используется принцип общности математических правил, который указывает общий способ решения задач, вне зависимости от характера чисел входящих условий.