8.Теоремы и их структура. Виды. Прямые и косвенные доказательства.
Фундамент (первичные понятия). Свойства этих понятий определяется аксиомами. Теоремы выражают свойства объектов, истинность которых нуждается в доказательстве.
Наше знание о предметах и явлениях выражается с помощью суждений. Суждение – это форма мысли, в которой что-либо утверждается или отрицается относительно предметов или их свойств. Суждения, так же как и объекты находятся в определенных связях и отношениях. Высшей формой мышления является умозаключение. Умозаключение - логическое действие, когда из одного или нескольких суждений получают новое. Теорема - это умозаключение в математике.
Логическое доказательство - есть мыслительный процесс обоснование данного суждения путем использования ранее полученных суждений. Смысл доказательства заключается в том, чтоб установить, что из условия получают заключение.
Логическое доказательство состоит из 3 частей:
тезис (что?) – теорема
аргументы (чем?)
демонстрация (как?)
Пример:
(
ABC)(
C
= 90°)
C A B
Существует несколько видов теорем. Между ними существует связь.
Где
- данная,
- обратная,
- противоположная данной,
- обратная противоположной.
Пример, иллюстрирующий виды теорем:
Если четырехугольник параллелограмм, то диагонали его, пересекаясь, делятся пополам ( ).
Если в 4-угольнике диагонали, пересекаясь, делятся пополам, то этот 4-угольник – параллелограмм ( ).
Если 4-угольник не параллелограмм, то его диагонали, пересекаясь, не делятся пополам ( ).
Если в 4-угольнике диагонали, пересекаясь, не делятся пополам, то такой 4-угольник не параллелограмм ( ).
Пример, иллюстрирующий связь теорем:
Если углы вертикальные, то они равны ( ). Прямая теорема истинна.
Если углы равны, то они вертикальные ( ). Обратная теорема ложна.
Если углы не вертикальные, то они не равны ( ). Противоположная теорема ложна.
Если углы не равны, то они не вертикальные ( ). Теорема, обратная противоположной, истинна.
Этот пример показывает, что хотя прямая теорема истинна, обратная теорема ложна; верна не только прямая теорема, но и теорема, обратная противоположной; неверна не только обратная теорема, но и противоположная ей теорема.
По структуре теоремы различают как простые, так и сложные.
Сложная теорема – это теорема, объединенная из 2-х теорем. Если в заключении можно выделить несколько выводов, то такая теорема тоже является сложной.
Если
одновременно данная (
)
и обратная теоремы (
)
являются истинными, то их можно объединить
в одну.
(А – достаточно для В, В – необходимо
для А). В доказательстве таких теорем
выделяют две части: достаточность и
необходимость. Каждое из высказываний
A
и B
можно считать необходимым и достаточным
условием для другого, т.е.
и
.
Пример сложной теоремы с условием необходимости и достаточности – теорема о трех перпендикулярах. (Теорема: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. Обратная: если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной).
По способу ведения рассуждений доказательства делят на прямые и косвенные.
В прямых доказательствах аргументы непосредственно доказывают тезис.
1.
Синтез.
(Частный случай – полная индукция);
,
где
.
Отсюда следует, что все S
суть P.
2.
Анализ Евклида
(необходимое условие).
Нисходящий анализ, нестрогое доказательство (не является строгим дедуктивным доказательством)
3.
Анализ Папа
(достаточное условие).
;
восходящий анализ, строгое доказательство.
4. Полная индукция:
- теорема об угле, вписанном в окружность (три варианта расположения сторон относительно центра).
- Теорема Эйлера о выпуклых многогранниках.
,
где В - вершины многоугольника, Г –
грани, Р – ребра.
5. Неполная индукция:
-
арифметическая прогрессия
.
-
геометрическая прогрессия
.
Косвенным доказательством называют такое доказательство, в котором тезис обосновывается путем опровержения истинности ранее доказанных утверждений.
Косвенные доказательства делятся на:
1. Метод от противного.
а)
.
б) закон исключенного третьего
Пусть
(
)
– антитезис, то
.
Через точку P
вне прямой проходят две прямые a
и c
параллельные b,
что является ложным.
{Если
из двух взаимно исключающих суждений
одно истинно, другое ложно, то третьего
не может быть.
}.
2. Разделительное.
,
где
взаимно исключают друг друга и никаких
не может быть. Методом от противного
докажем, что
Пример: в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
По форме умозаключений выделяют:
1. индуктивные (от частного к общему).
2. дедуктивные.
Специальные доказательства:
1. Метод матем. индукции.
Если
существует суждение A(n),
,
то 1) проверив истинность A(1)
– база
индукции
и 2) доказав истинность
- индукционный
шаг,
утверждение A(n)
– истинно,
на основании аксиомы принципа матем.
индукции. Это доказательство является
строго дедуктивным.
2. Векторный метод, координатный метод.
Пропедевтика док-в: 1.эксперимен (на модели) 2.неполная индукция 3.измерение 4.закл. по аналогии 5.вычисление