Обучение доказательствам

Формулировка теоремы:

1. толковка проблемы (сумма внутренних углов треугольника);

2. наблюдение, эксперимент, поиск формул (измерение углов, нахождение суммы);

3. формулировка теоремы, гипотеза (сумма внутренних углов равна 180°);

4. необходимые доказательства.

Процесс доказательства

(аналитико-синтетический)

1. анализ (поиск дост. условия);

2. поиск, дополнительные построения;

3. синтез (от условия к заключению);

4. выделить схему доказательства;

5. другие способы доказательства.

Ознакомление с доказательствами теорем

1-й прием. Изложение доказательства с использованием эвристической беседы (аналитико-синтетический, синтетический).

2-й прием. Проведение доказательства в виде рассказа.

3-й прием. Доказательство по готовому плану.

4-й прием. Доказательство по учебнику.

9.Теоретические основы изучения числовых систем в школе. Схемы и требования к расширению числовых множеств, способы построения новых числовых множеств.

Числа не управляют миром, но они показывают, как управляется мир. ( Гете)

Линии числа относятся к числу основных в школьной программе, наиболее объемная линия. Она представлена с 1 по 11 классы.

1-4 классы - первый пропедевтический уровень, изучает множество натуральных чисел.

5-6 классы - второй пропедевтический уровень, Изучает множество натуральных чисел, операции, свойства.

5 класс - десятичные дроби.

6 класс - обыкновенные дроби, отрицательные числа. Формирование представлений о множестве рациональных чисел.

7 класс - первое знакомство с иррациональными числами.

8 класс продолжение изучения множества иррациональных чисел.

9 класс формирование представления о множестве действительных чисел.

10-11 класс множество действительных чисел и в классах с углубленным изучением множество комплексных чисел.

Ведущими идеями при построении числовых множеств являются:

1. Принцип общности матем. правил.

2. Идея расширения числовых множеств.

Пусть требуется множество A расширить до множества B, при этом должны выполняться условия:

- множество A включается в множество B.

- Все операции множества A выполняются во множестве B.

- в B выполняется новая операция.

- Расширение должно быть минимальное? т. е. не существует такого множества В₁, которое включается B и в нем выполняются условия 1-3.

Существует два подхода к построению новых множеств:

1. Строится новое множество B, часть которого отождествляется в ранее изученном множестве A. Этот подход был реализован в учебнике Киселева при изучении рациональных чисел, ввел отрицательные числа с помощью долга на числовой прямой.

2. Конструктивный. Множество A дополняется «новыми» числами. Объединение «старого» множества с новыми числами и есть «новое» множество B. Он используется в ныне действующих учебниках.

Для построения теории развития числовых систем характерна строгая логическая последовательность, которая не всегда совпадает с историей развития этого вопроса. История порождает многочисленные дискуссии о порядке изучения числовых множеств в школе. Дедуктивный подход может быть представлен следующей схемой.

Существуют две схемы расширения числовых множеств:

1. Логическая.

2. Историческая схема (практическая).

Связь между числовыми множествами.

Пример. Покажем с помощью кругов Эйлера. Мнимые, иррациональные, действительные, четные, нуль, 2, простые, целые.

1 - действительные числа, 2 -иррациональные, 3 – целые, 4 - четные, 5 – простые, 6 – мнимые, 0 – ноль.