§8. Решение двойственной задачи лп

Ранее (§6) мы рассматривали прямую задачу ЛП:

F(x) = 180Х1, + 20х₂ -> max

0.5Х1, + 0,04х₂ < 200

12x1 + 0,6х₂ < 1800

Х1, >= 80

Х1х2>= 0.

В системе неравенств должны быть однотипные знаки «меньше или равно». Поэтому неравенство Х\ > 80 умножим на -1 и поменяем знак неравенства на противоположный.

Z(y) = 200y1 + 1800у₂ - 80у₃ -> min

0,5у1, + 12у₂ – у3 >= 180

0,04у1, + 0,6у₂ >= 20

У1, У2 >= 0.

Ограничение на целочисленность переменных здесь не требуется.

Решение прямой задачи дало следующие результаты: X1 = 80; х₂ = 1400; F(x) = 42400.

В результате решения двойственной задачи получим у1, =0; у₂ = 33,3; у₃ = 220; Z(y) = 42400.

Объективно обусловленная оценка у₁ = 0 указывает на то, что у нас избыток древесины: y₂ = 33,3, т.е. больше нуля. Значит этот ресурс (труд) полностью используется в оптимальном плане. значение целевой функции Z(y) равно F(x) = 42400. Это свидетельствует о том, что найденное решение оптимально.

Геометрическая интерпретация ОЗ линейного программирования

До приобретения мебельного цеха Василий Тимофеев имел небольшую столярную мастерскую, где он мог трудился вместе со своим сыном по 9 часов в день, изготавливая тару двух видов – А и В, расходуя для этого ежедневно 4 куб. м древесины и 18 кг металла. Необходимо найти ежедневный оптимальный план производства двух видов тары(x1 и x2), при котором прибыль Василия была бы максимальной, а имеющиеся ресурсы использовались бы наилучшим образом

Оптимизационная модель задачи запишется следующим образом:

а) целевая функция:

б) ограничения:

2 x1 + х2 12 (ограничение по металлу);

0,1x1 + 0,5х2 4 (ограничение по древесине);

3,5x1 + х2 18 (ограничение по труду).

в) условие неотрицательности переменных:

Х1=2,2

Х2= 7,5

Прибыль = 46,3 руб.

61. Понятие балансового метода и балансовых моделей. Принципиальная схема межотраслевого баланса. Экономико-математическая модель моб. Определение конечной и валовой продукции отраслей.

Балансовый метод – это метод взаимного сопоставления имеющихся материальных, трудовых и финансовых ресурсов и потребностей в них.

Балансовая модель – это система уравнений, которые удовлетворяют требованиям наличия ресурсов и потребностей в них.

Есть несколько видов балансовых моделей:

• трудовые, материальные, финансовые

• межотраслевые

• межотраслевые балансы с учетом экономических факторов

• матричные техпромфинпланы

• межрегиональные макроэкономические модели (пример - модель "Затраты-выпуск", полученная в 1930 г. американским экономистом В. Леонтьевым).

Принципиальная схема межотраслевого баланса

• Национальная экономика рассматривается как совокупность ЧИСТЫХ отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;

• Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному спросу на товары.

• Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства (продукты) других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.

• Каждая отрасль в балансе отражена как производящая и потребляющая

• Весь совокупный продукт может быть конечным и промежуточным

Принципиальная схема межотраслевого баланса производства и распределения продукции, построенная на основе метода “затраты–выпуск”:

В этой схеме межотраслевой баланс представлен 4 квадрантами.

В I квадранте – показатели материальных издержек на производство продукции. Он отражает межотраслевые материальные связи, промежуточное потребление продукции. Во II – показатели отражают конечную продукцию всех отраслей материального производства, под которой понимается продукция, выходящая из сферы производства в область конечного потребления. Эта продукция идет на потребление домашних хозяйств, общественное потребление (госрасходы), инвестиции, экспорт (за минусом импорта). III квадрант характеризует условно чистую продукцию всех отраслей материального производства по доходам. Условно чистая продукция – сумма амортизации, оплаты труда, чистого дохода. IV – отражает конечное перераспределение и использование национального дохода.

• Где затраты – это производство, выпуск – это потребление.

• Количество отраслей одинаковое!

• Производство и потребление равны!

• Валовая продукция по строкам и столбцам равна!!!!!

• Национальная экономика рассматривается как совокупность ЧИСТЫХ отраслей, т.е. когда каждая отрасль выпускает один и только свой вид продукта;

• Целью построения модели Леонтьева является анализ перетока товаров между отраслями экономики, обеспечивающего такое функционирование производственного сектора, когда объем выпуска соответствует суммарному спросу на товары.

• Все отрасли предполагаются взаимозависимыми в том смысле, что для производства своего продукта каждая из них использует результаты производства других фирм и только их. Иначе говоря, на данном уровне формализации применение отраслями невоспроизводимых производственных факторов не предусматривается.

• Каждая отрасль в балансе отражена как производящая и потребляющая

• Весь совокупный продукт может быть конечным и промежуточным

Конечный продукт = продукция конечного потребления = продукция на потребление дом. хозяйствами, общественное потребление ( гос. расходы), экспорт и инвестиции.

Валовой продукт = конечный продукт + продукт, потребленный в производстве.

Экономико-математическая модель МОБ.

Коэффициент прямых затрат - непосредственные затраты на единицу продукции (они не могут быть больше единицы). a_ij – коэффициент прямых материальных затрат, который показывает какое количество продукции i-йо отрасли необходимо для производства j –ой отрасли a _ij = x_ij/ x_j.

Коэффициент полных затрат – учитывает все затраты и материалы, используемые в производстве.

Коэффициенты затрат aij отражают прямые связи между отраслями. Например, расход угля непосредственно на выработку электроэнергии, расход металла непосредственно на производство станков и т.д. Поэтому их называют коэффициентами прямых затрат.

Если выразить общий объем затрат продукции одних отраслей на производство продукции других отраслей (xij) через произведение коэффициентов прямых затрат на весь выпуск потребляющей отрасли (aij*x_j), то система уравнений использования продукции в народном хозяйстве, по данным межотраслевого баланса в ценностном выражении, примет следующий общий вид:

Y_i= …..(3)

Если теперь выписать коэффициенты прямых затрат (aij) в отдельную таблицу, то они образуют матрицу коэффициентов прямых затрат, характеризующих производственные связи между отраслями.

Матрица эта имеет следующий вид:

В матричной форме уравнение 3 будет выглядеть:

Y=A*Y+z …Ур-е (4), где Y – столбец валового продукта, а z – столбец конечного продукта

Это ур-е можно записать как (E-A)*Y=z – это и есть определение конечной продукции отрасли. Зная конечный продукт, подставив z в ур-е 3 можно найти валовый продукт.

Уравнения 3 и 4 и являются экономико-математической моделью МОБ!

Определение конечного продукта от заданного валового: Y=X/E-A=X(E-A)^-1 – обратная матрица «Леонтьева». Это матрица коэффициентов полных затрат. Теперь можем определять конечную продукцию.

Одной из основных целей построения этой модели является вычленение своих отраслей от импортных (политика импортозамещения).

Пусть a_ij - коэффициент прямых материальных затрат;

a_ij = x_ij / x_j

Коэффициент прямых материальных затрат показывает, какое количество продукции i-ой отрасли необходимо для производства «единицы» продукции j-ой отрасли.

x_ij = a_ij x_j

x_i = S x_ij + y_i

После подстановки первого выражения во второе получим:xi = S aij xj + yi (1) или в матричной форме: X =AX +Y (2)

Система уравнений (1) или (2) представляет собой экономико-математическую модель МОБ (модель «затраты-выпуск», модель Леонтьева)

Для определения конечной продукции найдем из матричной модели Леонтьева Y

Y =X –AX или Y=(E-A)X E –

единичная матрица; А- матрица коэффициентов прямых затрат.

Для определения валовой продукции найдем из матричной модели Леонтьева X

X = (E-A) ^-1 Y

(E-A) ^-1 – находится в том случае, если определитель матрицы (E-A) не равен нулю. В этом случае матрица является невырожденной и обратная к ней матрица существует.

Для операций с матрицами в Excel необходимо использовать функции:

МУМНОЖ(массив1;массив2)

МОБР(массив)

МОПРЕД(массив)