4.3. Контрольная работа № 2

Таблица 2

	Номера задач
0	201	211	221	231	241	251	261	271
1	202	212	222	232	242	252	62	272
2	203	213	223	233	243	253	263	273
3	204	214	224	234	244	254	264	274
4	205	215	225	235	245	255	265	275
5	206	216	226	236	246	256	266	276
6	207	217	227	237	247	257	267	277
7	208	218	228	238	248	258	268	278
8	209	219	229	239	249	259	269	279
9	210	220	230	240	250	260	270	280

4.3.1. Примеры решения задач

Задача 3.4

По двум бесконечно длинным параллельным проводам текут в одинаковом направлении токи силой I₁ = 15 A и I₂ = 10 A. Расстояние между проводами d=10 см. Определить магнитную индукцию в точке А (рис.3), удаленной от первого провода на расстояние r₁ =10 см и от второго провода на расстояние r₂ =15 см.

Дано:

I₁ = 15 A

I₂ = 10 A

=1

d = 10 см

r₁ = 10 см = 0,1 м

r ₂ = 15 см = 0,1 м

В - ?

Решение. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей магнитная индукция в точке А равна сумме векторов магнитных индукций полей и , созданных каждым током в отдельности:

= (1)

где B₁=µµ₀I₁ /(2r₁) и B₂=µµ₀I₂ /(2r₂). На рис. 3.20 проводники с токами I₁ и I₂ перпендикулярны плоскости чертежа (токи направлены от наблюдателя). Векторы и изображены на рисунке так, что их направление связано с направлением соответствующих токов правилом правого винта. Векторы и в точке А направлены по касательной к силовым линиям.

Модуль вектора на основании теоремы косинусов равен

B= ( cos )^1/2 , (2 )

где  - угол между векторами и . Из рис.3 видно, что углы  и  равны как углы с соответственно перпендикулярными сторонами. Из треугольника со сторонами r₁, r₂ и d по теореме косинусов находим cos :

cos= .

Вычислим отдельно

Подставляя выражения для B₁ и B₂ в формулу (2) и вынося ₀/(2) за знак корня, получаем

.

Произведем вычисления

Задача 3.5

Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциалов 50 В, влетает в однородное магнитное поле под прямым углом к линиям индукции. Определить величину вектора магнитной индукции, если радиус окружности, по которой движется электрон, равен 10 см.

Дано:

U = 50 В

m = 9,1^.10^-31 кг

е = 1,6 ^.10^-19 Кл

 = 90⁰

R = 10 см = 0,1 м

В - ?

Решение. В магнитном поле электрон под действием силы Лоренца движется по окружности радиуса R в плоскости, перпендикулярной силовым линиям индукции магнитного поля,

.

Cила Лоренца сообщает электрону нормальное ускорение. По второму закону Ньютона

или ,

где R - радиус окружности, получаем соотношение

B = . ( 1 )

Кинетическую энергию W=mv²/2 электрон приобретает за счет работы сил электростатического поля (А=eU, где U – разность потенциалов).

Поэтому

eU = .

Отсюда скорость электрона

. (2)

Формула (1) с учетом (2) примет вид

.

Подставим числовые данные, получим

Т.

Задача 3.6

Контур в виде квадрата со стороной 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией 0,5 мТл, причем его плоскость составляет угол 30⁰ c силовыми линиями поля. Какой заряд протечет по контуру при выключении магнитного поля? Сопротивление контура 1 мОм.

Дано:

а = 10 см = 10^-1 м

В = 0,5 мТл = 5^.10^-4 Тл

 = 30⁰

R =1 мОм = 1^.10^-3 Ом

q = ?

Решение. При выключении магнитного поля магнитный поток Ф, пронизывающий контур, меняется. В контуре возникает ЭДС индукции,

мгновенное значение которой по закону Фарадея равно

.

Мгновенное значение силы индукционного тока определяется по закону Ома

За время dt по контуру протечет заряд

Проинтегрировав это выражение, найдем полный заряд

.

Для однородного магнитного поля начальный магнитный поток равен

Ф₁ = BS cos,

где  - угол между вектором В и нормалью к плоскости контура, S = а² - площадь контура.

Из рисунка видно, что  = 90⁰ - . Следовательно, cos = sin. Конечный магнитный поток Ф₂ = 0. Таким образом,

Произведя вычисления, получим

Кл.

Задача 3.7

Плоский круговой виток радиусом 20 см вращается с постоянной угловой скоростью 300 рад/с в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл, причем ось вращения лежит в плоскости витка и перпендикулярна вектору индукции. Найти максимальное значение ЭДС индукции.

Дано:

R = 20 см = 0,2 м

В = 0,1 Тл

 = 300 рад/с

_imax= ?

Решение. При вращении витка непрерывно изменяется угол  между вектором и нормалью к плоскости витка, следовательно, изменяется магнитный поток Ф, пронизывающий виток. В витке возникает ЭДС индукции, мгновенное значение которой по закону Фарадея равно

.

Для однородного поля магнитный поток, пронизывающий виток, равен

Ф = ВS cos.

С учетом того, что при вращении витка с постоянной угловой скоростью мгновенное значение угла  =  t, получим

Ф = ВS cos = BS cos t.

Подставив в формулу (1) выражение для Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции

_i = BS sin t.

Максимальное значение ЭДС индукции равно

_imax = BS.

Произведя вычисления, получим

Задача 4.1

К невесомой пружине, коэффициент упругости которой 200 Н/м, прикреплен груз массой 1 кг. Груз смещен на 10 см от положения равновесия, после чего предоставлен себе. Определить наибольшее и наименьшее ускорения груза. Трением пренебречь.

Дано:

к = 200 Н/м

m = 1 кг

А₀ = 10 см = 0,1 м

a_mах = ? a_min = ?

Решение. Под действием силы упругости груз совершает свободные гармонические колебания, уравнение которых запишем в виде

x = A₀ cos t, (1)

где А₀ – амплитуда колебания,  – циклическая частота.

Продифференцировав выражение (1) по времени, определим скорость груза:

= - A₀ sin t, (2)

а после дифференцирования скорости по времени – ускорение

а = -А₀ ²cos ωt = - ² x. (3)

Так как , то ускорение а можно записать в виде

а = - ² x = - х. (4)

Ускорение имеет максимальное значение при x = A₀ , т. е. при наибольшем отклонении от положения равновесия:

|а_max| = А₀. (5)

В положении равновесия, при x = 0, ускорение a = 0. Подставляя числовые значения в выражение (6), получим

а_max = (200/1) = 20 м/с².

Задача 4.2

Плоская волна распространяется в упругой среде со скоростью 100 м/с. Наименьшее расстояние между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1м. Определить период колебаний и частоту.

Дано:

= 1м

= 100м/с

Т = ? v = ?

Решение. Точки, находящиеся друг от друга на расстоянии, равном длине волны, колеблются с разностью фаз, равной 2. Точки, находящиеся друг от друга на любом расстоянии, колеблются с разностью фаз, равной

(1)

Решая это равенство относительно , получаем

(2)

По условию задачи  = . Подставляя значения величин, входящих в выражение (2), получим

м.

Скорость  распространения волны связана с  и Т отношением

, (3)

где – частота колебаний.

Из выражения (3) получаем .

Произведем вычисления:

= (100 / 2) = 50 Гц, Т = 1/50 с=0,02 с.

Задача 4.3

Разность потенциалов между обкладками конденсатора электроемкостью 0,5 мкФ в колебательном контуре изменяется со временем по закону U = 100sin1000t B. Определить период собственных колебаний, индуктивность, полную энергию контура и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности. Активным сопротивлением контура пренебречь.

Дано:

С = 0,5 мкФ = 5 Ф

U_m = 100 B

ω = 10³ с^-1

T = ? ω = ? I_m = ? L = ?

Решение. Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону U = U_msint, где U_m – амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках конденсатора;  – собственная круговая частота колебаний, которая связана с периодом соотношением T=2/. Отсюда находим

Т = 2π/1000π = 10^-3 с.

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона T = 2 , откуда

L = ; L = = 0,2 Гн.

Полная энергия контура складывается из энергии электрического поля W_э конденсатора и энергии магнитного поля W_м катушки:

W = W_э+W_м = .

Полная энергия электрического контура равна максимальной энергии поля конденсатора W_эmax = или максимальной энергии поля катушки W_мmax = /2.

Таким образом,

W = .

З ная полную энергию, можно определить максимальную силу тока протекающего по катушке индуктивности:

I _m = ; I_m = = 0,16 A.

Задача 5.1

Для устранения отражения света от поверхности линзы на нее наносится тонкая пленка вещества с показателем преломления (n = 1,26), меньшим, чем у стекла (просветление оптики). При какой наименьшей

толщине пленки отражение света с длиной волны 0,55 мкм не будет наблюдаться, если угол падения лучей 30^о?

Дано:

n = 1,26

λ = 0,55 мкм =5,5 ∙ 10^-7 м

n₁

i₁ = 30^о

n₂>n₁

d = ?

Рис. 11

Решение. Оптическая разность хода лучей, отраженных от верхней и нижней поверхностей пленки (рис. 11), равна

 = 2d , (1)

где d – толщина пленки; n – показатель преломления пленки; i₁ – угол падения лучей.

В выражении (1) учтено, что отражение лучей на верхней и нижней поверхностях пленки происходит от оптически более плотной среды и поэтому потери полуволны в обоих случаях компенсируют друг друга.

Условие интерференционного минимума

. (2)

Из (1) и (2) находим

. (3)

Полагая к = 0, 1, 2, 3...., получим ряд возможных значений толщины пленки. Минимальная толщина пленки будет при к = 0.

Подставим в расчетную формулу (3) числовые значения входящих величин: n = 1,26;  = 0,55 мкм = 5,5 ^-7 м; i₁ = 30^о; к = 0.

Произведем вычисления:

мкм.

Задача 5.2

Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения абсолютно черного тела, составляет 0,58 мкм. Определить энергетическую светимость поверхности тела.

Дано:

Решение. Энергетическая светимость абсолютно черного тела R_э в соответствии с законом Стефана-Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой

, (1)

где  - постоянная Стефана-Больцмана; Т – термодинамическая температура.

Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина

_m = b/T, (2)

где b – постоянная закона смещения Вина.