1.3. Элементы динамики вращательного движения твердого тела

1.3.1. Момент силы

При вращательном движении результат действия силы – изменение угловой скорости зависит не только от величины и направления силы, но и от точки приложения. Поэтому действие силы характеризуют понятием момента силы.

Момент силы определяется относительно центра вращения и относительно оси вращения.

Моментом силы относительно неподвижной точки 0 называется физическая величина, равная векторному произведению радиуса вектора , проведенного из точки 0 в точку приложения силы, и вектора силы :

. (1.29)

Рис. 1.4

Модуль вектора . Направление определяется правилом векторного произведения или правилом правого винта (рис. 1.4). Величина называется плечом силы (рис. 1.4).

Если на тело действует несколько сил, то результирующий момент сил относительно центра равен векторной сумме моментов отдельных сил:

. (1.30)

1.3.2. Момент импульса

Аналогично моменту силы определяется момент импульса.

Mоментом импульса частицы А относительно точки 0 называют вектор , равный векторному произведению радиус-вектора частицы и вектора импульса

. (1.31)

Разбивая мысленно твёрдое тело на материальные точки и учитывая, что все точки тела имеют одинаковые угловые скорости, получим для момента импульса твердого тела выражение:

. (1.32)

Величина (1.33)

называется моментом инерции твердого тела относительно данной оси вращения. Тогда . Поскольку направления векторов и совпадают, это равенство можно записать в векторной форме

, (1.34)

1.3.3. Основное уравнение динамики вращательного движения

Согласно второму закону Ньютона изменение вектора импульса тела за единицу времени равно векторной сумме всех сил: .

Чтобы ответить на вопрос, почему изменяется вектор момента импульса, продифференцируем выражение (1.34) по времени. В результате получим, что

изменение момента импульса материальной точки за единицу времени равно моменту всех сил, действующих на неё.

. (1.35)

В этом выражении момент импульса и моменты сил берутся относительно одной и той же оси вращения. Выражение (1.35) называют уравнением моментов. Подставляя в (1.33) , получим в проекции на ось Z:

, при , и

. (1.36)

В такой форме уравнение моментов носит название основного закона динамики вращения твердого тела относительно неподвижной оси.

Угловое ускорение, приобретаемое телом под действием сил, прямо пропорционально сумме моментов сил относительно оси вращения и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно той же оси.

. (1.37)