3.1.3. Теорема Гаусса и её применение для расчёта электростатических полей

Расчёт поля точечных зарядов основан на принципе суперпозиции полей; поля заряженных тел правильной формы рассчитывают с помощью теоремы Гаусса. Для того чтобы отразить тот факт, что источником электрического поля являются заряды, используют понятие потока вектора напряжённости.

Потоком вектора напряжённости через какую-либо поверхность называется количество линий вектора (или другого вектора), пересекающих данную поверхность.

Так как количество линий может быть любым, то условились, через плоскую поверхность в 1 м², перпендикулярную силовым линиям однородного поля, проводить количество силовых линий, численно равное величине вектора . Тогда поток через площадку, площадью S, нормаль к которой составляет угол с линиями вектора , равен . (рис. 3.3).

Рис. 3.3

В случае неоднородных полей и произвольной формы поверхности последнюю разбивают на бесконечно малые площадки dS, в пределах которых поле можно считать однородным. Вычисляют элементарный поток , затем интегрируют это выражение по всей поверхности:

.

Поток через замкнутую поверхность записывается в виде

. (3.17)

Теорема Гаусса устанавливает связь между потоком вектора через замкнутую поверхность и величиной заряда, заключённого внутри поверхности. Теорема Гаусса. Поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на электрическую постоянную.

(3.18)

Аналогичная теорема справедлива для вектора электрической индукции:

. (3.19)

Физический смысл теоремы Гаусса состоит в том, что источником электростатического поля являются электрические заряды. При расчёте напряжённости полей вокруг заряженных тела правильной формы, произвольную поверхность выбирают так, чтобы интеграл в (3.18) вычислялся наиболее просто. Например, вблизи заряженной плоскости с поверхностной плотностью .

3.2. Электрическое поле в диэлектриках

Молекулы всех веществ состоят из заряженных частиц. Поэтому при внесении

даже нейтрального вещества в электрическое поле обнаруживаются существенные изменения, как в поле, так и в самом веществе.

Диэлектриками называют вещества, в которых при обычных условиях практически нет свободных зарядов, которые могли бы перемещаться под действием электрического поля. К ним относятся все газы, если они не подвергаются ионизации, некоторые жидкости (бензол, растительные и синтетические масла) и твердые вещества (фарфор, стекло, парафин, кварц и др.). В зависимости от взаимного положения зарядов молекулы могут быть полярными и неполярными. У полярных молекул отрицательные заряды сдвинуты от положительных на некоторое расстояние. Приближенно такую молекулу можно рассматривать как электрический диполь с электрическим моментом , где q – суммарный положительный заряд всех атомных ядер в молекуле; – вектор, проведенный из центра распределения электронов в молекуле в центр распределения положительных зарядов атомных ядер. Неполярные молекулы собственным дипольным моментом не обладают: у них центры положительного и отрицательного зарядов совпадают.

В электрическом поле происходит ориентация дипольных моментов в полярных диэлектриках. В неполярных диэлектриках молекулы приобретают дипольные моменты, направленные вдоль поля.

В результате на поверхностях диэлектрического материала, перпендикулярных линиям напряжённости внешнего поля выступают электрические заряды противоположных знаков, которые называются связанными. Связанные заряды создают поле, направленное противоположное внешнему (Рис. 3.4). Таким образом, поляризация диэлектрика вызывает ослабление в нем поля по сравнению с первоначальным внешним полем.

Рис. 3.4

Электрическое поле в диэлектрике является суперпозицией внешнего поля сторонних – не входящих в состав молекул диэлектрика зарядов и поля связанных зарядов .

.

Модуль напряженности результирующего поля внутри диэлектрика

.

В результате электрическое поле в диэлектрике ослабляется в раз.

– диэлектрическая проницаемость вещества. Диэлектрическая проницаемость является основной электрической характеристикой диэлектрика. Значения её зависят от природы диэлектрика и колеблются в пределах от единицы до многих тысяч (у некоторых керамик).

Так как , то , т.е. электрическое смещение внутри диэлектрика совпадает с электрическим смещением внешнего поля .