Вариант 24.

1. Какова вероятность получить главный выигрыш в «спортлото» 6 из 49 (правильно угадать 6 чисел) у владельца одного билета?

2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что только на двух костях появится по 6 очков.

3. Слово «ВЕРОЯТНОСТЬ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ВЕРОЯТНОСТЬ; б) ТРОСТЬ.

4. В урне содержится 8 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:

   1. 2 белых шара;

   2. меньше чем 2 белых шара;

   3. хотя бы один чёрный шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,2. Найти вероятности следующих событий:

   1. событие А появится 4 раза в серии из 7 независимых испытаний;

   2. событие А появится не менее 70 и не более 90 раз в серии из 150 испытаний.

6. Вероятность того, что перфокарта набита неверно, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 900 набитых перфокарт окажется 720 набитых правильно.

7. В первой урне 3 белых и 6 чёрных шаров, а во второй урне 6 белых и 5 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 1 шар, а из второй урны случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.

8. На склад поступают изделия трёх фабрик. Продукция первой фабрики составляет 1000 изделий, второй – 2000, третьей – 2500 изделий. Известно, что средний процент нестандартных изделий первой фабрики равен 3%, второй – 2%, третьей – 1%. Найти вероятность того, что наугад взятое на складе изделие бракованное.

9. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 15см соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадёт в кольцо, образованное указанными окружностями?

10. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	–1	0	1	2
Р	0,2	0,3	0,4	0,1

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(1); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала (–1; 2). Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

12. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	14	18	22	26	30
Р	0,11	0,21	0,32	0,24	0,12

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. Передаётся 5 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью 0,2 независимо от других искажается. Случайная величина Х – число искажённых сообщений. Найти её закон распределения, начальные и центральные моменты 1-го, 2-го и 3-го порядков.

14. Вероятность выпуска нестандартной радиолампы равна 0,15. Оценить снизу вероятность того, что в партии из 500 радиоламп число нестандартных отличается от 60 меньше, чем на 16.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдёт:

    1. хотя бы 5 неправильных соединений;

    2. более двух неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

17. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

1. параметр ;

2. плотность распределения ;

3. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала (0,5; 2);

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

5. вероятность того, что в результате 800 независимых испытаний случайная величина Х примет 500 раз значения из интервала (0,5; 2).

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Записать функции плотности распределения и распределения . Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 4,2. Записать и построить её график. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:

    1. из отрезка ;

    2. меньше 15;

    3. больше 5;

    4. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 6.

21. Средний диаметр детали 45см. Считая, что диаметр детали – случайная величина, распределённая по нормальному закону с параметром см, найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет отклонение от среднего значения по абсолютной величине не большее 0,16см.

22. По выборке А решить следующие задачи:

    1. составить вариационный ряд;

    2. вычислить относительные и накопленные частоты;

    3. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

    4. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение;

• моду и медиану;

5. при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности;

Выборка А: 7 6 3 1 5

4 6 6 6 7 3

2 2 5 4 3 7

6 6 5 2 3 2

4 7 7 1 1 5

3 3 5 4 4 8

2 1 5 1 2 4

7 3 1 2 2 5

2 4 5 4 5 7

7 7 3 5 8 4

23. По выборке В решить следующие задачи:

    1. составить группированный вариационный ряд;

    2. построить гистограмму и полигон частот;

    3. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение, моду и медиану;

4. при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В:

106 126 136 106 116 112 132 148

102 150 147 155 167 151 173 175

101 118 126 137 145 160 169 168

165 134 137 163 157 161 142 135

149 162 165 175 156 166 122 160

143 152 180 168 142 187 181 167

165 181 120 138 158 160 129 158

177 173 154 158 177 186 152 161

142 161 170 153 164 165 176 188

159 162 167 162 190 180 172 128