Вариант 15.

1. В кошельке лежат 10 купюр по 50 рублей и 8 купюр по 100 рублей. Найти вероятность того, что при извлечении наудачу трёх купюр из кошелька все они окажутся по 100 рублей.

2. Бросаются четыре монеты. Найти вероятность того, что на трёх монетах появится «герб».

3. Слово «ГРАБЕЛЬКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) АЛГЕБРА; б) ЛАГЕРЬ.

4. В урне содержится 7 чёрных и 4 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:

   1. 3 белых шара;

   2. меньше чем 4 белых шара;

   3. хотя бы один чёрный шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6. Найти вероятности следующих событий:

   1. событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;

   2. событие А появится не менее 120 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.

6. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 1000 новорождённых окажется 480 девочек.

7. В первой урне 3 белых и 4 чёрных шара, а во второй – 6 белых и 7 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара, а из второй – три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только три шара чёрного цвета.

8. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,6; 0,3 и 0,1. Вероятность того, что к приходу пассажира имеющиеся билеты в кассе будут распроданы, равна для первой кассы 0,3; для второй – 0,4; для третьей – 0,5. Пассажир отправился в одну из касс и приобрёл билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.

9. Область G ограничена эллипсоидом , а область g – этим эллипсоидом и сферой . В области G наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что она принадлежит области g?

10. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	3	6	9	12
Р	0,3	0,4	0,2	0,1

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(9); вероятность . Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

12. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	45	70	95	120	145
p	0,1	0,2	0,5	0,1	0,1

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. Производятся последовательные независимые испытания трёх приборов на надёжность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий оказался надёжным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9. Найти закон распределения числа испытанных приборов. Найти математическое ожидание и центральные моменты 2-го и 3-го порядков числа испытанных приборов.

14. Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 3. Какой должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,95?

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,004. Найти вероятность того, что среди 250 соединений произойдёт:

    1. хотя бы три неправильных соединения;

    2. более трёх неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

17. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

1. параметр

2. плотность распределения ;

3. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала ;

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины;

5. вероятность того, что в результате 300 независимых испытаний случайная величина Х примет 215 раз значения из интервала .

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Записать функции плотности распределения и распределения . Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,2. Записать и построить её график. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:

    1. из отрезка ;

    2. меньше 12;

    3. больше 4;

    4. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 5.

21. При измерении детали её длина является случайной величиной, распределённой по нормальному закону с мм и мм. Найти интервал, в который с вероятностью 0,9544 попадает длина наудачу взятой детали.

22. По выборке А решить следующие задачи:

    1. составить вариационный ряд;

    2. вычислить относительные и накопленные частоты;

    3. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

    4. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение, моду и медиану

5. при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности;

Выборка А: 6 6 5 6 11 8

7 4 4 8 3 2

3 9 6 9 5 8

8 7 10 8 6 9

9 10 3 10 5 7

6 8 9 9 3 8

4 11 4 6 9 2

8 7 7 8 4 3

6 12 10 2 3 8

6 8 2 3 8 8

23. По выборке В решить следующие задачи:

    1. составить группированный вариационный ряд;

    2. построить гистограмму и полигон частот;

    3. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение;

• моду и медиану;

4. при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В: 58 49 46 53 63 64 53 46

59 64 50 55 57 55 68 48

58 54 59 57 53 60 69 68

56 49 52 63 57 61 49 48

49 62 65 58 56 68 58 60

56 52 60 57 48 57 58 67

65 51 60 58 58 60 59 58

52 53 54 58 67 68 52 61

47 56 57 53 64 65 56 58

59 56 56 56 59 58 57 58