Вариант 16.

1. Контролю подлежат 25 деталей, среди которых 3 нестандартных. Какова вероятность тог, что среди взятых наудачу четырёх деталей окажется 2 нестандартных.

2. Бросают четыре игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 8.

3. Слово «РЕПЕМЕННАЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПЕРЕМЕННАЯ; б) МЕРА.

4. В урне содержится 5 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеются:

   1. 3 чёрных шара;

   2. меньше чем 2 белых шара;

   3. хотя бы один чёрный шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,3. Найти вероятности следующих событий:

   1. событие А появится 4 раза в серии из 9 независимых испытаний;

   2. событие А появится не менее 90 и не более 100 раз в серии из 200 испытаний.

6. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,022. Изделия укладываются в коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что в выбранной коробке число бракованных изделий окажется не более трёх.

7. В первой урне 5 белых и 3 чёрных шара, а во второй урне 4 белых и 9 чёрных шаров. Из первой и второй урн случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров только два шара чёрного цвета.

8. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы 4 студента, из второй – 6 студентов, из третьей – 5. Вероятность того, что студент первой, второй, третьей группы попадёт в сборную института, соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,8. Один из отобранных студентов в итоге соревнования попал в сборную команду. К какой группе он вероятнее всего принадлежит?

9. Стержень длиной L произвольным образом сломан на три части. Какова вероятность того, что из этих частей можно построить треугольник?

10. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	3	4	5	7
p	0,3	0,1	0,4	0,2

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(5); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из отрезка . Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

12. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	–28	–20	–12	–4	4
p	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. Вероятность того, что в магазине есть сертификаты качества для полного ассортимента товаров, равна 0,7. Комиссия проверила наличие сертификатов в четырёх магазинах района. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и дисперсию числа магазинов, в которых при проверке не обнаружены сертификаты качества.

14. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 350 одинаковых ящиков было взято на проверку по одной электролампе из каждого ящика. Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных электроламп отличается от средней продолжительности горения всей партии по абсолютной величине меньше чем на 7 часов, если известно, что среднее квадратичное отклонение продолжительности горения электроламп в каждом ящике меньше 9 часов.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдёт:

    1. хотя бы три неправильных соединения;

    2. более двух неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

17. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

1. параметр ;

2. плотность распределения ;

3. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала (–0,5; 1);

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

5. вероятность того, что в результате 300 независимых испытаний случайная величина Х примет 220 раз значения из интервала (–0,5; 1)

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Записать функции плотности распределения и распределения . Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2. Записать и построить её график. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:

    1. из отрезка ;

    2. меньше 25;

    3. больше 15;

    4. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 4.

21. Станок-автомат изготавливает валики. Считается, что их диаметр – нормально распределённая случайная величина со средним значением 10мм. Чему равно среднее квадратичное отклонение, если с вероятностью 0,99 диаметр заключён в интервале от 9,7мм до 10,3мм.

22. По выборке А решить следующие задачи:

    1. составить вариационный ряд;

    2. вычислить относительные и накопленные частоты;

    3. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

    4. вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее и выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение, моду, медиану.

    5. при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности;

Выборка А: 6 9 7 6 4 4

9 6 7 8 8 3

7 5 2 3 4 5

2 8 6 8 3 2

5 3 3 4 4 5

10 12 6 3 4 8

6 6 6 5 4 5

7 7 8 2 9 6

6 5 4 6 2 3

4 11 4 8 3 6

23. По выборке В решить следующие задачи:

    1. составить группированный вариационный ряд;

    2. построить гистограмму и полигон частот;

    3. вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее, выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение, моду и медиану.

    4. при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55