Вариант 21.

1. Среди 25 деталей 10 нестандартных. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу взятых деталей 3 стандартных.

2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на трёх костях кратна 7.

3. Слово «ДИСПЕРСИЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ДИСПЕРСИЯ; б) ПИРС.

4. В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:

   1. 4 белых шара;

   2. меньше чем 4 белых шара;

   3. хотя бы один чёрный шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,18. Найти вероятности следующих событий:

   1. событие А появится 2 раза в серии из 4 независимых испытаний;

   2. событие А появится не менее 55 и не более 90 раз в серии из 250 испытаний.

6. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 годных.

7. В первой урне 4 белых и 5 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 6 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают три шара, а из второй урны случайным образом вынимают два шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.

8. На склад поступают изделия трёх цехов. Продукция первого цеха составляет 30% всех изделий; второго – 20%; третьего – 50% изделий. Известно, что средний процент нестандартных изделий первого цеха равен 0,1%, второго – 0,2%, третьего – 0,3%. Взятое на складе наугад изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно изготовлено в первом цехе.

9. Область G ограничена эллипсоидом , а область g – этим эллипсоидом и сферой . В области G наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность того, что она принадлежит области g?

10. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	–1	0	1	1,5
p	0,4	0,1	0,2	0,3

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(0); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала (–1; 1). Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

12. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	75	85	95	105	115
p	0,14	0,16	0,5	0,1	0,1

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. Проверкой установлено, что из каждых 10 приборов 8 точных. Составить закон распределения, найти начальные и центральные моменты 1-го, 2-го, 3-го порядков числа точных приборов из взятых наудачу 5 приборов.

14. Вероятность рождения девочки приблизительно равна 0,485. Оцените снизу вероятность того, что число девочек среди 3000 новорождённых будет отличаться от математического ожидания этого числа по абсолютной величине менее, чем на 55 девочек.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,0025. Найти вероятность того, что среди 6000 соединений произойдёт:

    1. хотя бы 4 неправильных соединения;

    2. более четырёх неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

17. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

1. параметр ;

2. плотность распределения ;

3. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала (2,5; 3,5);

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

5. вероятность того, что в результате 200 независимых испытаний случайная величина Х примет 90 раз значения из интервала (2,5; 3,5);

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Записать функции плотности распределения и распределения . Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 1,1. Записать и построить её график. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:

    1. из отрезка ;

    2. меньше 9;

    3. больше 3;

    4. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 4.

21. Средний диаметр детали 15см. Считая, что диаметр детали – случайная величина, распределённая по нормальному закону с см, найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали имеет отклонение от среднего значения по абсолютной величине не большее 1см.

22. По выборке А решить следующие задачи:

    1. составить вариационный ряд;

    2. вычислить относительные и накопленные частоты;

    3. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

    4. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее и выборочную дисперсию;

• ;стандартное выборочное отклонение, моду и медиану;

5. при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности;

Выборка А: 1 1 3 3 2 4

1 1 2 2 1 2

1 1 3 3 2 2

1 2 1 2 2 1

3 2 4 4 1 3

1 2 3 2 4 3

1 2 1 2 1 1

2 2 3 3 4 1

1 4 2 2 3 3

4 3 2 1 2 3

23. По выборке В решить следующие задачи:

    1. составить группированный вариационный ряд;

    2. построить гистограмму и полигон частот;

    3. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение;

• моду и медиану;

4. при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В: 16 14 18 16 17 18 16 15

16 15 14 17 17 15 16 19

15 14 16 14 15 17 15 15

16 17 17 15 16 16 15 16

16 15 15 16 17 16 16 15

16 16 17 17 17 15 17 16

15 15 15 16 14 17 12 16

16 15 16 16 16 16 15 16

15 17 15 16 16 17 16 18

16 16 17 17 15 14 17 17