Вариант 14.

1. В бригаде 12 женщин и 8 мужчин. Нужно выбрать делегацию на конференцию, состоящую из трёх человек. Найти вероятность того, что при случайном выборе делегации в ней окажутся 1 женщина и двое мужчин.

2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков меньше 10.

3. Слово «КАСАТЕЛЬНАЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) КАСАТЕЛЬНАЯ; б) КАНАТ.

4. В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:

   1. 4 белых шара;

   2. меньше чем 3 белых шара;

   3. хотя бы один белый шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,5. Найти вероятности следующих событий:

   1. событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;

   2. событие А появится не менее 150 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.

6. Вероятность того, что покупателю понадобится обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 100 покупателей 30 человек попросят обувь 41-го размера.

7. В первой урне 3 белых и 5 чёрных шаров, а во второй урне 6 белых и 6 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй урны – 1. Найти вероятность того, что все вынутые шары чёрного цвета.

8. При разрыве снаряда образуются осколки трёх весовых категорий: крупные, средние и мелкие, причём их число составляет 0,2; 0,3 и 0,5 общего числа осколков соответственно. При попадании в броню крупный осколок пробивает её с вероятностью 0,95, средний – с вероятностью 0,2, мелкий – с вероятностью 0,05. В результате взрыва снаряда в броню попал осколок и пробил её. Найти вероятность того, что пробоина возникла от крупного осколка.

9. В прямоугольник с вершинами (–2; 0), (–2; 9), (4; 9), (4; 0) брошена точка. Найти вероятность того, что её координаты и удовлетворяют неравенству .

10. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	–1	0	0,5	1
p	0,3	0,1	0,3	0,3

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение ; вероятность того, что случайная величина Х примет значения из отрезка . Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

12. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	530	545	560	575	590
p	0,1	0,3	0,45	0,05	0,1

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. Производится набрасывание колец на колышек. Вероятность попадания при одном броске равна 0,3. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа наброшенных колец при трёх бросках.

14. В урне 100 белых и 100 чёрных шаров. Вынимают с возвращением 50 шаров. Оценить снизу вероятность того, что число m вынутых белых шаров удовлетворяет неравенству .

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что среди 400 соединений произойдёт:

    1. хотя бы два неправильных соединения;

    2. более двух неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

17. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

1. параметр

2. плотность распределения

3. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала (2,5; 3,5)

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х

5. вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная величина Х примет 310 раз значения из интервала (2,5; 3,5).

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Записать функции плотности распределения и распределения . Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 3,1. Записать и построить её график. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:

    1. из отрезка ;

    2. меньше 10;

    3. больше –10;

    4. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 15.

21. Величина Х отклонения радиуса подшипника от стандарта распределена по нормальному закону с параметрами микрон, микрон. Найти вероятность того, что .

22. По выборке А решить следующие задачи:

    1. составить вариационный ряд;

    2. вычислить относительные и накопленные частоты;

    3. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

    4. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение;

• моду и медиану;

5. при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности;

Выборка А: 14 14 13 12 14 15

15 13 10 12 15 16

14 12 13 14 11 14

12 14 14 11 13 11

13 16 16 18 17 13

11 12 14 15 19 12

13 12 12 18 15 16

16 14 15 12 12 15

17 17 15 16 11 12

13 19 13 15 15 17

23. По выборке В решить следующие задачи:

    1. составить группированный вариационный ряд;

    2. построить гистограмму и полигон частот;

    3. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение;

• моду и медиану;

4. при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В: 112 112 116 120 113 112 119 112

114 113 118 115 111 118 113 110

110 114 113 116 116 113 117 117

113 110 115 110 113 116 112 113

121 124 118 113 113 110 113 112

116 123 113 118 113 114 113 114

124 121 114 113 112 113 120 113

120 112 130 123 115 114 115 110

116 118 115 110 112 115 115 112

124 117 113 117 119 124 113 117