Вариант 18.

1. Среди 10 лотерейных билетов 2 являются выигрышными. Найти вероятность того, что из взятых наудачу пяти билетов один окажется выигрышным.

2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше 15.

3. Слово «ПЕРИМЕТР» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПЕРИМЕТР; б) МЕТР.

4. В урне содержится 5 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:

   1. 4 белых шара;

   2. меньше чем 2 белых шара;

   3. хотя бы один чёрный шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,55. Найти вероятности следующих событий:

   1. событие А появится 3 раза в серии из 5 испытаний;

   2. событие А появится не менее 130 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.

6. Вероятность нарушения герметичности банки консервов равна 0,0005. Найти вероятность того, что среди 2000 банок две окажутся с нарушением герметичности.

7. В первой урне 4 белых и 8 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 4 чёрных шара. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара и из второй урны случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.

8. Среди поступающих на сборку деталей, с первого станка 0,1% бракованных, со второго – 0,2%, с третьего – 0,25%, с четвёртого – 0,5%. Производительности станков относятся соответственно как 4:3:2:1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке.

9. Область G ограничена окружностью , а область g – этой окружностью и параболой . В область G брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка попадёт в область g.

10. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	0	1	2	3
p	0,2	0,1	0,4	0,3

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(3); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала (–1; 2). Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

12. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	170	160	150	140	130
p	0,3	0,2	0,1	0,15	0,25

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. У электромонтёра три лампочки, каждая из которых имеет дефект с вероятностью 0,1.. Лампочки ввинчиваются в патрон и включается ток. При включении тока дефектная лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа опробованных лампочек.

14. Вероятность поражения цели равна 0,3 при каждом из 900 независимых выстрелов. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что цель будет поражена не менее 240 раз и не более 300 раз.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 800 соединений произойдёт:

    1. хотя бы три неправильных соединения;

    2. более четырёх неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

17. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

1. параметр

2. плотность распределения

3. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала (1,5; 2,5)

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х

5. вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная величина Х примет 340 раз значения из интервала (1,5; 2,5).

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Записать функции плотности распределения и распределения . Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 4. Записать и построить её график. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:

    1. из отрезка ;

    2. меньше 12;

    3. больше 8;

    4. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 6.

21. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с микрон и микрон. Найти вероятность того, что .

22. По выборке А решить следующие задачи:

    1. составить вариационный ряд;

    2. вычислить относительные и накопленные частоты;

    3. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

    4. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение;

• моду и медиану;

5. при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности;

Выборка А: 4 7 6 3 3 4

5 7 8 7 7 5

2 5 7 5 6 5

5 6 8 4 3 2

3 7 4 4 8 4

8 6 9 3 5 3

3 2 7 7 6 4

8 5 6 3 2 7

7 7 4 5 8 2

3 9 3 4 5 5

23. По выборке В решить следующие задачи:

    1. составить группированный вариационный ряд;

    2. построить гистограмму и полигон частот;

    3. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение;

• моду и медиану;

4. при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177