Вариант 23.

1. В группе из 25 студентов 7 студентов не выполнили домашнее задание. Преподаватель опрашивает 5 человек. Найти вероятность того, что преподаватель вызовет двух студентов, не выполнивших домашнее задание.

2. Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на одной монете появится решка.

3. Слово «ГЕОМЕТРИЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ГЕОМЕТРИЯ; б) МЕТР.

4. В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди них имеются:

   1. 3 белых шара;

   2. меньше чем 3 белых шара;

   3. хотя бы один белый шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,9. Найти вероятности следующих событий:

   1. событие А появится 3 раза в серии из 5 испытаний;

   2. событие А появится не менее 42 и не более 50 раз в серии из 90 испытаний.

6. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров не более двух потребуют ремонта.

7. В первой урне 3 белых и 8 чёрных шаров, а во второй урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 2 шара, а из второй – три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары чёрного цвета.

8. В ОТК работает мастер, проверяющий 80% всех изделий, и ученик, проверяющий 20% изделий. Мастер замечает брак в 99% случаев, тогда как ученик – в 95% случаев. Изделие, прошедшее контроль, оказалось дефектным и возвращено покупателем. Найти вероятность того, что это изделие проверял мастер.

9. В прямоугольник с вершинами брошена точка. Какова вероятность того, что её координаты будут удовлетворять неравенству ?

10. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	–2	0	2	4
p	0,1	0,2	0,5	0,2

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(4); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала (–3; 2). Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины Х:

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

12. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	106	110	114	118	122
p	0,2	0,15	0,35	0,1	0,2

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. Составить закон распределения числа попаданий в мишень при четырёх выстрелах, если вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. Найти среднее число попаданий и центральные моменты указанной случайной величины.

14. За значение математического ожидания некоторой величины принимают среднее арифметическое достаточно большого числа её измерений. Предполагая, что среднее квадратичное отклонение каждого измерения не превосходит 2 см, оценить вероятность того, что при 1500 измерениях отклонение принятого значения от истинного по абсолютной величине не превзойдёт 0,1 см.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,005. Найти вероятность того, что среди 400 соединений произойдёт:

    1. хотя бы три неправильных соединения;

    2. более трёх неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

17. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

1. параметр ;

2. плотность распределения ;

3. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала (–2; 1);

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х

5. вероятность того, что в результате 270 независимых испытаний случайная величина Х примет 30 раз значения из интервала (–2; 1).

18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Записать функции плотности распределения и распределения . Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 6,2. Записать и построить её график. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:

    1. из отрезка ;

    2. меньше 18;

    3. больше 2;

    4. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 9.

21. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение не менее 6м и не более 8м.

22. По выборке А решить следующие задачи:

    1. составить вариационный ряд;

    2. вычислить относительные и накопленные частоты;

    3. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

    4. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение;

• моду и медиану;

5. при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности;

Выборка А: 3 2 3 4 2 2

1 3 3 5 4 4

1 4 1 3 4 1

3 4 1 3 4 4

5 5 2 5 1 1

1 1 1 3 3 4

3 2 1 0 1 4

2 3 2 1 2 4

3 1 1 2 2 4

1 1 4 2 4 5

23. По выборке В решить следующие задачи:

    1. составить группированный вариационный ряд;

    2. построить гистограмму и полигон частот;

    3. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение, моду и медиану;

4. при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В: 156 176 165 166 176 166 189 148

162 150 147 155 167 151 173 175

161 188 146 157 165 160 169 168

165 134 177 163 157 161 142 185

149 162 165 175 156 166 192 160

143 152 180 168 142 187 181 167

165 181 190 138 158 160 179 158

177 173 154 158 177 186 152 161

142 161 170 153 164 165 176 188

159 162 167 162 190 180 172 158