Вариант 22.

1. У сборщика 10 радиоламп, внешне мало отличающихся друг от друга. Из них 4 лампы первого типа, по две лампы второго, третьего и четвёртого типов. Найти вероятность того, что из взятых наудачу 6 ламп окажется три лампы первого типа, две – второго и одна – третьего типа.

2. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на двух монетах появится «герб».

3. Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) МАТЕМАТИКА; б) ТЕМА.

4. В урне содержится 8 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеются:

   1. 3 белых шара;

   2. меньше чем 3 белых шара;

   3. хотя бы один чёрный шар.

5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,1. Найти вероятности следующих событий:

   1. событие А появится 4 раза в серии из 5 испытаний;

   2. событие А появится не менее 70 и не более 120 раз в серии из 200 испытаний.

6. Нужно исследовать 200 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в каждой пробе одинакова и равна 0,6. Найти вероятность того, что число проб с промышленным содержанием будет заключено между 130 и 150.

7. В первой урне 4 белых и 4 чёрных шара, а во второй урне 7 белых и 7 чёрных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают два шара, а из второй – три шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.

8. На склад поступили телевизоры двух марок: «PANASONIC» – 70%; «LG» – 30%, причём 10% телевизоров «PANASONIC» и 20% телевизоров «LG» содержат русский телетекст. Определить вероятность того, что взятый наудачу телевизор не содержит русский телетекст.

9. Точка брошена в область G, ограниченную эллипсом . Какова вероятность того, что она попадёт в область g, ограниченную этим эллипсом и параболой ?

10. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	1	3	5	7
p	0,1	0,1	0,3	0,5

Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(5); вероятность того, что случайная величина Х примет значения из интервала (1;5). Построить многоугольник распределения.

11. Известна функция распределения дискретной случайной величины Х:

Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.

12. Дан закон распределения случайной величины Х:

Х	300	305	310	315	320
p	0,1	0,1	0,3	0,4	0,1

Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.

13. Вероятность того, что добросовестный студент получит повышенную оценку на экзамене, равна 0,9. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа добросовестных студентов, получивших повышенную оценку на экзамене, из четырёх опрошенных.

14. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 1, если в результате предыдущих измерений найдено среднее квадратичное отклонение, равное 5.

15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдёт:

    1. хотя бы 4 неправильных соединения;

    2. более четырёх неправильных соединений.

16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:

Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций и . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной величины Х.

17. Случайная величина задана функцией распределения:

Найти:

1. параметр ;

2. плотность распределения ;

3. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х примет значения из интервала ;

4. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

5. вероятность того, что в результате 225 независимых испытаний случайная величина Х примет 125 раз значения из интервала .

1. Случайная величина распределена равномерно на отрезке . Записать функции плотности распределения и распределения . Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

2. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 4,2. Записать и построить её график. Найти функцию распределения и построить её график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.

20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами . Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:

    1. из отрезка ;

    2. меньше 5;

    3. больше 1;

    4. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше чем на 2.

21. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с м и м. Найти вероятность того, что .

22. По выборке А решить следующие задачи:

    1. составить вариационный ряд;

    2. вычислить относительные и накопленные частоты;

    3. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;

    4. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:

• выборочное среднее;

• выборочную дисперсию;

• стандартное выборочное отклонение, моду и медиану;

5. при уровне значимости проверить гипотезу о распределении Пуассона соответствующей генеральной совокупности;

Выборка А: 1 4 3 0 0 1

2 4 5 4 4 2

2 2 4 2 3 2

2 3 5 1 0 0

0 4 1 1 5 1

5 3 6 0 2 0

0 0 4 4 3 1

5 2 3 0 0 4

4 4 1 2 5 0

0 6 0 1 0 2

23. По выборке В решить следующие задачи:

    1. составить группированный вариационный ряд;

    2. построить гистограмму и полигон частот;

    3. вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее, выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение. моду и медиану.

    4. при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности;

Выборка В: 52 61 41 55 71 60 50 57

54 64 38 72 55 52 77 60

68 57 15 28 54 49 50 41

72 54 44 77 51 28 50 47

43 64 56 45 56 70 71 42

48 53 52 70 42 53 62 28

50 46 55 54 63 42 71 38

28 58 40 60 44 50 62 51

63 57 77 27 41 60 60 42

59 47 42 22 55 44 70 77