УДК 51(07)
Михайлова И.Г.
Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике.
Учебно-методическое пособие. Озерск: ОТИ МИФИ, 2003, 109с.
Рецензенты: к. ф.-м. н. Витовтов И.Г., ЮУрГУ
к. ф.-м. н. Лисицын С.Г., ОТИ МИФИ.
Вариант 1.
В конверте среди 30 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу извлекают 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
Бросаются 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся нечетные количества очков.
Слово «ПРОГРАММА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке появления образуют а) слово ПРОГРАММА, б) слово РАМА.
4. В урне содержатся 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара;
б) менее трех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности следующих событий:
а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 170 и не более 180 раз в серии из 250 независимых испытаний.
Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800 посеянных семян взойдут не менее 700.
В первой урне 5 белых и 5 черных шаров, а во второй – 4 белых и 8 черных шаров. Из обеих урн случайным образом вынимают по 2 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.
Литье в болванках поступает из двух цехов: 60% из первого цеха и 40% из второго. Литье первого цеха имеет 5% брака, второго – 10% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без дефекта. Какова вероятность того, что она изготовлена первым цехом?
В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошена точка
.
Найти вероятность того, что корни
уравнения
действительны.
Дан закон распределения случайной величины
:
-
X
–2
0
1
3
p
0,2
0,1
0,5
0,2
Найти функцию распределения
,
значение
.
Вычислить вероятность того, что
примет значение из интервала
.
Построить многоугольник распределения.
Известна функция распределения дискретной случайной величины :
Задать закон распределения случайной величины в виде таблицы.
Задан закон распределения дискретной случайной величины:
-
X
120
135
150
165
180
p
0,1
0,2
0,3
0,2
0,2
Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
В баскетбольную корзину бросают мяч до первого попадания. Разрешается сделать не более трех бросков. Составить закон распределения количества выполненных бросков, если вероятность попадания при одном броске равна 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию числа выполненных бросков.
Электростанция обслуживает сеть из 2000 ламп, вероятность включения каждой из которых равна 0,8. Какова вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 50?
На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,02. Найти вероятность того, что среди 100 соединений произойдет:
а) ровно 2 неправильных соединения;
б) больше трех неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения
Найти функцию распределения
случайной величины
.
Построить графики функций
и
.
Вычислить для этой случайной величины
математическое ожидание, дисперсию,
среднее квадратическое отклонение,
моду и медиану.
Случайная величина задана функцией распределения
Найти а) параметр
;
б) плотность распределения ;
в) вероятность того, что в результате
одного испытания случайная величина
примет значение из интервала
;
г) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная величина примет 150 раз значение из интервала .
Случайная величина распределена равномерно на отрезке
.
Найти выражения для плотности
распределения и функции распределения
этой случайной величины. Вычислить
математическое ожидание и дисперсию
случайной величины
.
Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,4. Записать выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины .
Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами
и
.
Найти вероятность того, что эта случайная
величина примет значение
а) из промежутка
;
б) меньшее 8;
в) большее 6;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более чем на 7.
21. Автомат штампует детали. Контролируется
длина детали
,
которая распределена нормально с
проектной длиной 50. Известно, что
мм.
Найти вероятность того, что длина наудачу
взятой детали находится в пределах от
55мм до 68мм.
По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости
проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной
совокупности.
Выборка А:
-
4
4
5
1
2
2
2
3
2
3
2
5
0
3
0
1
0
2
5
0
2
3
2
1
1
4
2
1
1
1
1
5
2
5
1
2
3
1
3
4
3
3
0
0
2
5
2
4
2
3
2
5
3
2
2
1
6
3
5
1
По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости проверить гипотезу о нормальном распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
-
135
124
137
137
133
126
132
114
124
117
112
119
132
131
134
121
132
123
126
125
134
127
127
133
104
129
128
120
131
130
124
135
152
121
111
129
120
126
127
131
134
122
129
125
129
124
135
125
130
125
115
123
135
135
120
114
129
131
147
127
132
127
129
115
120
147
131
132
132
108
126
117
122
124
132
118
108
134
132
118