- •Преобразование Лапласа решетчатой функции
- •Анализ систем цифрового управления
- •Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)
- •1. Математическое описание цифровых систем
- •1.1. Расчетная схема цифровой системы. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование
- •1.2. Математическое описание импульсного элемента
- •1.3. Преобразование Лапласа решетчатой функции
- •1.4. Передаточная функция экстраполятора
- •Пример.
- •Z‑преобразования некоторых числовых последовательностей.
- •Пример. Найдём z‑преобразование единичной ступенчатой функции.
- •Некоторые функции времени и их преобразования Лапласа и z‑преобразования
- •1.6. Передаточная функция непрерывной части цсу
- •1.7. Передаточная функция эвм
- •1.8. Частотные характеристики цифровых систем
- •1.9. Описание дискретных систем с помощью уравнений состояния
- •2. Анализ систем цифрового управления
- •2.1. Управляемость и наблюдаемость
- •2.2. Устойчивость цифровых систем
- •Пример 1.
- •Решение
- •2.3. Динамические показатели качества цифровых систем управления и их взаимосвязь с характеристиками непрерывных систем
- •2.4. Оценка точности цифровых систем
- •3. Синтез цифровых систем с заданными характеристиками
- •3.1. Повторный синтез. (Цифровое перепроектирование)
- •Перепроектирование по передаточным функциям системы.
- •Пример.
- •Перепроектирование по переходному процессу системы замкнутой по переменным состояния.
- •3.2. Расчет компенсационных регуляторов по дискретной модели
- •3.3. Расчет компенсационных регуляторов методом логарифмических частотных характеристик (лчх)
- •Определение алгоритма управления:
- •3.4. Расчет апериодических регуляторов (регуляторы с конечным временем установления)
- •Передаточная функция разомкнутой системы:
- •Отметим основные недостатки апериодических регуляторов:
- •3.5. Регуляторы состояния с заданным характеристическим уравнением
- •Пример.
- •3.6. Следящая система с заданным характеристическим уравнением
- •3.7. Регуляторы состояния при неполных измерениях. Наблюдатели состояния
- •3.8. Наблюдатели неполного порядка
- •3.9. Цифровое управление с учетом запаздывания
1.9. Описание дискретных систем с помощью уравнений состояния
Большинство современных методов проектирования систем управления основано на описании и моделировании систем в пространстве состояний. При изучении цифровых систем метод пространства состояний имеет следующие преимущества перед традиционным частотным методом:
Описание в пространстве состояний является естественным и удобным для решения задач на ЭВМ.
Позволяет унифицировать описание одномерных и многомерных систем.
Может применяться к некоторым типам нелинейных и нестационарных систем.
Однако достоинства хорошо известного частотного метода в его компактности и наглядности, физической интерпретируемости, и большое число задач проектирования реальных систем управления по-прежнему решается с использованием методов синтеза, основанных на определении передаточной функции.
Рассмотрим непрерывный линейный объект, движение которого описывается координатами , имеющий входных воздействий (рис. 1.21).
В
,
,
. .
получим стандартное описание линейного объекта в форме системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка:
,
где и – матрицы соответствующих размерностей. Решение этой системы известно:
; (1.19)
– начальное состояние, переходная матрица состояния .
Пусть теперь рассматриваемый объект имеет дискретное управление (см. рис. 1.22). Координаты будем рассматривать только в моменты времени, совпадающие с моментами замыкания ключа. Выберем произвольный момент времени, соответствующий k-му замыканию ключа, и будем считать его начальным:
;
.
Следующий момент выборки будем считать текущим:
.
. Тогда в соответствии с (1.19):
. (1.20)
Обозначим . Очевидно, что это постоянная матрица, если постоянна, имеющая размерность . Во втором слагаемом (1.20) выполним замену переменных , тогда .
При : , при : .
Управление постоянно на интервале интегрирования и потому может быть вынесено (вправо) за знак интеграла. Тогда второе слагаемое принимает вид:
.
Обозначим ( – прямоугольная матрица той же размерности, что ), и получим:
.
Это уравнение состояния для дискретных объектов, которое позволяет по значению координат в текущий момент времени определить их значение в следующий дискретный момент времени.
Принята упрощенная запись:
.
В дальнейшем для упрощения записи будем опускать в обозначениях матриц и индекс « » там, где это не может вызвать неоднозначное толкование.
Как и в непрерывном случае, уравнение состояния дополняется алгебраическим уравнением выхода. Если выход скалярный, то это уравнение имеет вид:
Оно не изменяется при переходе от непрерывной к дискретной системе. В общем случае .
Решение уравнений состояния.
По сути, уравнение состояния является реккурентным соотношением. При начальное значение задано, воздействие тоже известно. Из уравнения состояния:
;
; и т. д.
Нетрудно получить общее выражение:
.
Здесь – общее решение однородного разностного уравнения, а – частное решение неоднородного разностного уравнения.
Можно также получить решение уравнения состояния, применив Z‑преобразование. Пусть – Z‑преобразование решетчатой функции , . По свойствам Z‑преобразования . Тогда из уравнений состояния получим:
;
или
; ( – единичная матрица)
Решение: .
Найдем изображение выхода, считая и полагая для простоты и скалярами:
.
Нетрудно видеть, что – передаточная функция объекта и .
Знаменателем передаточной функции является (Так как ), а характеристическое уравнение объекта . Его корни называют также собственными числами матрицы .
Если выход и/или управление не скаляры, мы получим матрицу передаточных функций от каждого входа к каждому выходу.