1. Математическое описание цифровых систем

В процессе исследования цифровых систем возникает задача определения их математических моделей, необходимых для проведения анализа и синтеза цифровых систем управления. Для описания дискретных (цифровых) процессов применяются разностные уравнения. Наиболее распространены разностные уравнения n-ого порядка (модели вход‑выход) и системы уравнений первого порядка (модели вход-состояние-выход), а также их операторные формы – дискретные передаточные функции и частотные характеристики.

Известны два подхода к построению таких моделей:

1. Идентификационный;

2. На основе уже полученной непрерывной (аналоговой) модели для определенного периода квантования.

В основе идентификационного перехода лежат многочисленные методы определения структуры и параметров моделей по известным входным и выходным сигналам системы. В частности, широко используются различные модификации метода наименьших квадратов и другие (Эйкхофф, Гроп, Льюнг, Дейч и др.).

Второй способ заключается в составлении дискретной модели по уже имеющейся непрерывной модели с учетом особенностей цифровой обработки информации.

1.1. Расчетная схема цифровой системы. Аналого-цифровое и цифро-аналоговое преобразование

Центральным элементом цифровой системы является управляющая ЭВМ, которая по заданному алгоритму осуществляет обработку информации, поступающей от измерительных устройств, и выполняет функции устройства управления – цифрового регулятора.

Важнейшими особенностями управляющей ЭВМ как цифрового регулятора являются ее дискретность и наличие запаздывания в процессе обработки сигналов. Дискретность обусловлена квантованием по уровню и времени всех вычислительных процессов, а, следовательно, и дискретным характером сигналов на входе и выходе ЭВМ . Интервал квантования по времени задается с помощью таймера, а приращение по уровню зависит от разрядности ЭВМ. Для ЭВМ с достаточно большой разрядной сеткой квантованием по уровню можно пренебречь. Управляющая ЭВМ вносит запаздывание по времени , что вызвано потерями времени на ввод-вывод информации и вычисления. Для упрощения расчетов эффектом запаздывания часто пренебрегают, полагая, что производительность ЭВМ высока, а интервал квантования мал.

В дальнейшем будем полагать, что работа всех устройств цифровой системы синхронизирована и происходит с интервалом дискретизации , а их разрядные сетки одинаковы.

В функции устройств ввода-вывода информации (УВВ) входит промежуточное хранение информации и, при необходимости, преобразование аналоговых сигналов в цифровые и обратно.

Устройства ввода обеспечивают временное хранение и преобразование к цифровой форме информации, полученной от аналоговых и цифровых датчиков. Они содержат аналогово-цифровые преобразователи (АЦП) и управляемые буферные регистры – входные порты. В предположении, что число разрядов входного регистра и ЭВМ велико, эффектом квантования по уровню можно пренебречь, тогда характеристика устройства аналогового входа принимает вид .

Эта характеристика отражает основное свойство блока ввода как квантователя аналоговых сигналов, обусловленное циклическим характером работы АЦП и периодическим обращением центрального процессора к буферному регистру.

Устройства вывода информации обеспечивают хранение и преобразование информации, полученной от ЭВМ и поступающей далее на исполнительные устройства. Они содержат цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП) и управляемые буферные регистры – выходные порты. В предположении, что число разрядов ЦАП и выходного регистра велико, характеристика устройства аналогового вывода принимает вид и отражает основную особенность этого блока как фиксатора дискретных сигналов (экстраполятора нулевого порядка), обусловленную свойством выходного регистра сохранять информацию в течение одного цикла работы.

Таким образом, обобщенную функциональную схему цифровой системы управления можно представить в следующем виде (см. рис. 1.1).

На схеме обозначено:

 – задающее воздействие, которое должно быть отработано системой.

 – регулируемая координата.

ОУ – объект управления. Под ним подразумевается непрерывная часть (НЧ) системы, которая включает все непрерывные элементы, в том числе силовые, усилительно-преобразовательные и т. п. Везде далее предполагается, что математическое описание ОУ в форме дифференциальных уравнений либо передаточных функций задано.

ЦАП – цифроаналоговый преобразователь. Его выход является управляющим сигналом для НЧ, а вход формируется ЦВМ.

ЭВМ – реализует заданный алгоритм управления.

АЦП – аналого-цифровой преобразователь.

Наличие ключей отражает дискретный по времени характер процессов в цифровой части системы.

Возможен вариант схемы, в котором сравнение регулируемой координаты объекта y и ее заданного значения происходит в непрерывной форме. В обоих случаях структура соответствует схеме следящей системы. Это не является сколько-нибудь существенным ограничением, поскольку все результаты легко распространяются на случай систем стабилизации. С точки зрения расчета обе схемы эквивалентны.

Рассмотрим аналого‑цифровое преобразование. Его условно делят на три этапа:

1. Квантование по времени – преобразование непрерывного сигнала в импульсный. Этот процесс приведен на рис. 1.2. и соответствует амплитудно-импульсной модуляции. Строго говоря, это не единственный тип модуляции, но только он обеспечивает линейность преобразования, поэтому другие, менее распространенные, мы рассматривать не будем.

2. Квантование по уровню – замена фактических значений амплитуды импульсов некими разрешенными значениями (см. рис. 1.3), например, только целыми значениями. Где  – единица квантования.

3. Кодирование – преобразование квантованного импульсного сигнала в цифровой код.

Процессы кодирования и квантования по уровню тесно связаны между собой. Предположим, что заданы максимальное значение входного сигнала АЦП и допустимая ошибка системы.

Пусть  – число уровней квантования, тогда:

;

где  – разрядность преобразователя, . Ошибка системы _, допустимая ошибка всегда задаётся. Преобразователь не различает ошибки, которые меньше половины единицы квантования по уровню ( ), и, следовательно, система не может их устранить. Поэтому если будет задано допустимое значение ошибки, то должно выполняться неравенство , и . Так как известно, указано в задании, то требование к разрядности АЦП принимает вид:

.

ЦАП преобразует цифровой код в аналоговый сигнал (непрерывный, неимпульсный) в два этапа:

1. Декодирование – преобразование цифрового кода в амплитудно-модулированный импульсный сигнал.

2. Экстраполяция – преобразования амплитудно-модулированного импульсного сигнала в непрерывный сигнал (см. рис. 1.4.). Экстраполятор называется фиксатором нулевого порядка, если его выходной сигнал поддерживается на интервале времени постоянным. В экстраполяторе первого порядка осуществляется обобщение дискретных данных на интервале времени по предыдущей и текущей выборкам. Реакции экстраполяторов на импульсное воздействие показаны на рис. 1.3.

Наибольшее распространение на практике получил фиксатор нулевого порядка, поэтому в дальнейшем мы будем ориентироваться на него.

Примем следующие допущения:

1. Система работает в режимах, когда насыщение, т.е. переполнение разрядной сетки, в АЦП, ЦАП, ЦВМ не достигается. То же предполагается относительно непрерывной части, она считается линейной.

2. Разрядность АЦП, ЦАП, ЦВМ достаточно велика, чтобы можно было пренебречь эффектом квантования по уровню.

3. ЦВМ выполняет только линейные операции (умножение на константу, сложение, сдвиг по времени).

Выполнение этих требований обеспечивает линейность всех преобразований сигналов в системе: АЦП превращается в ключ, который выделяет мгновенные значения поступающего сигнала, ЦВМ превращается в преобразователь линейных импульсных сигналов, а ЦАП превращается в экстраполятор.

Расчетная схема приобретает вид, соответствующий структуре линейной импульсной системы (см. рис. 1.5.).